Macierz Jordana

[Benny01]

Liczę sobie macierz Jordana i wychodzi mi coś bardzo dziwnego.
Mam macierz:
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 2&-2&-3\\2&-3&-6\\-1&2&4\end{bmatrix}}\)
Wielomian charakterystyczny ma jeden pierwiastek trzykrotny \(\displaystyle{ \lambda =1}\)
Dla danej lambdy szukam podprzestrzeni własnej.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&-3\\2&-4&-6\\-1&2&3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}}\)
Dostaje, że \(\displaystyle{ v_1=2v_2+v_3}\), więc wektor jest postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 \alpha +3 \beta \\ \alpha \\ \beta \end{bmatrix}}\)
Podprzestrzeń własna ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\), więc musimy dopełnić jeszcze jednym wektorem głównym.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&-3\\2&-4&-6\\-1&2&3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \alpha +3 \beta \\ \alpha \\ \beta \end{bmatrix}}\)
Dokonując operacji elementarnych otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \alpha +3 \beta \\ \alpha +2 \beta \\ 2 \alpha + 4\beta \end{bmatrix}}\)
Dostajemy, więc warunek, że \(\displaystyle{ \alpha =-2 \beta}\) oraz oba skalary niezerowe i \(\displaystyle{ u=\begin{bmatrix} 2 \gamma +3 \delta - \beta \\ \gamma \\ \delta \end{bmatrix}}\)
Teraz dobieramy te wektory do bazy.
Dla \(\displaystyle{ \alpha =1, \ \ \beta =0}\) mam wektor własny \(\displaystyle{ x_1= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\)

Teraz będę dobierał wektor główny, więc muszę uwzględnić warunek z skalarami.
Weźmy \(\displaystyle{ \alpha =2, \ \ \beta =-1}\) dostajemy wektor \(\displaystyle{ x_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}}\)
oraz dla \(\displaystyle{ \gamma =-1, \ \ \delta =1}\) dostajemy wektor \(\displaystyle{ x_3=\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\)
Wydawałoby się że mam już bazę Jordana oraz macierz przejścia jednak, gdy mnożę macierze \(\displaystyle{ P \cdot J \cdot P^{-1}}\) dostaję o dziwo macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
Co tu może być nie tak?

[karolex123]

Podprzestrzeń własna ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\), więc musimy dopełnić jeszcze jednym wektorem głównym.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&-3\\2&-4&-6\\-1&2&3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \alpha +3 \beta \\ \alpha \\ \beta \end{bmatrix}}\)
Dokonując operacji elementarnych otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \alpha +3 \beta \\ \alpha +2 \beta \\ 2 \alpha + 4\beta \end{bmatrix}}\)
Dostajemy, więc warunek, że \(\displaystyle{ \alpha =-2 \beta}\) oraz oba skalary niezerowe i \(\displaystyle{ u=\begin{bmatrix} 2 \gamma +3 \delta - \beta \\ \gamma \\ \delta \end{bmatrix}}\)
Teraz dobieramy te wektory do bazy.
Dla \(\displaystyle{ \alpha =1, \ \ \beta =0}\) mam wektor własny \(\displaystyle{ x_1= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\)

Teraz będę dobierał wektor główny, więc muszę uwzględnić warunek z skalarami.
Weźmy \(\displaystyle{ \alpha =2, \ \ \beta =-1}\) dostajemy wektor \(\displaystyle{ x_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}}\)
oraz dla \(\displaystyle{ \gamma =-1, \ \ \delta =1}\) dostajemy wektor \(\displaystyle{ x_3=\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\)
Wydawałoby się że mam już bazę Jordana oraz macierz przejścia jednak, gdy mnożę macierze \(\displaystyle{ P \cdot J \cdot P^{-1}}\) dostaję o dziwo macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
Co tu może być nie tak?

Nie bardzo wiem co tu się dzieje... Szczególnie niepokoi mnie fragment z operacjami elementarnymi. Ja bym robił tak (podejście standardowe) : skoro podprzestrzeń własna ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\), to musimy znaleźć \(\displaystyle{ \ker \left( \begin{bmatrix} 1&-2&-3\\2&-4&-6\\-1&2&3\end{bmatrix}\right)^{2}=V}\) (tak być musi).
No to wybieramy dowolny wektor, który nie leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ V_1}\), np. \(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right)}\) i liczymy jego obraz względem przekształcenia \(\displaystyle{ A-Id}\); jest to \(\displaystyle{ \left( -3,-6,3\right) \in V_1}\). Teraz trzeba znaleźć trzeci, ostatni już wektor bazowy należący do \(\displaystyle{ V_1}\)- może to być np. \(\displaystyle{ \left( 3,0,1\right)}\) i mamy bazę Jordana:\(\displaystyle{ \left\{ \left( 0,0,1\right),\left( -3,-6,-3\right), \left( 3,0,1\right) \right\}}\).
Żeby robić tego typu zadania, najlepiej zacząć od tego, by wyobrazić sobie jak wygląda macierz Jordana tego przekształcenia. Znając krotności geometryczne wartości własnych, wiemy ile klatek Jordana mamy. Rozmiary klatek determinują wymiary kolejnych potęg przekształcenia \(\displaystyle{ A- \lambda Id}\). Tutaj sprawa jest wyjątkowo prosta, bowiem mamy jedną wartość własną o krotności geometrycznej równej \(\displaystyle{ 2}\). Mamy zatem dwie klatki Jordana- jedna jest \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ 1}\), druga musi być \(\displaystyle{ 2}\) na \(\displaystyle{ 2}\). Dalej już tylko rachujemy

[Benny01]

Wiem, że można to robić za pomocą kolejnych potęg, ale równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ \left( A-\lambda I\right)x_i=x_{i-1}}\)

[karolex123]

A co to jest \(\displaystyle{ x_i}\) oraz \(\displaystyle{ x_{i-1}}\) ?

[Benny01]

\(\displaystyle{ x_i}\) to wektor główny rzędu \(\displaystyle{ i}\)