Transformacje Householdera

[Karolina_nie]

Potrzebuję udowodnić lemat, że dla każdego wektora x należącego do \(\displaystyle{ R^{n}}\) istnieje macierz ortogonalna Q taka, że \(\displaystyle{ Qx=||x|| _{E}e_{1}}\), gdzie \(\displaystyle{ ||x||_{E}}\) oznacza normę euklidesową wektora x, e1 jest pierwszym standardowym wektorem bazowym.
W dowodzie mam zdefiniowaną macierz Q jako \(\displaystyle{ Q=I-\gamma w w^{T}}\), gdzie w jest określonym wektorem, a \(\displaystyle{ \gamma = \frac{2}{||w||_{E}^2}}\). Udowadniam, że macierz Q jest symetryczna i ortogonalna. Następnie zapisuje \(\displaystyle{ Qx = x - \gamma (w^{T}x)w}\) i przyjmuję, że \(\displaystyle{ w = x + c e_1}\) i dążę do tego, aby Qx równało się stałej razy \(\displaystyle{ e_1}\).

I nie rozumiem przejścia w poniższym równaniu:
\(\displaystyle{ Qx = x - \gamma(x+ce_1)^Tx(x+ce_1) = x - \gamma(||x||_E^2 + cx_1)(x+ce_1)}\).

Proszę o pomoc

[bartek118]

Czego nie rozumiesz w tym przejściu? Jedynie wymnożono
\(\displaystyle{ (x+ ce_1)^T x = ( \| x\|^2_E + cx_1)}\)