Macierz przejścia

[pg52]

Cześć,
na ćwiczeniach nasz prowadzący powiedział, że jak mamy macierz rzeczywistą i wyjdą nam wartości własne zespolone sprzężone to klatka Jordana wygląda tak : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right]}\).

Potem jeśli obliczamy wektor główny to bierzemy tylko jedną wartość z pary i obliczamy wektor.
I tu nie do końca rozumiem bo powiedział że nasz wektor rozbijamy na część rzeczywistą i zespoloną :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} \eta & \beta \end{array}\right] + i \times \left[\begin{array}{c} \gamma & \delta \end{array}\right]}\) i nasza macierz przejścia ma postać \(\displaystyle{ P =\left[\begin{array}{cc} \eta & \gamma \\ \beta & \delta \end{array}\right]}\).

Czy mógłby mi ktoś powiedzieć czy tak wolno robić? I skąd się ew. to bierze?

[karolex123]

Cześć,
na ćwiczeniach nasz prowadzący powiedział, że jak mamy macierz rzeczywistą i wyjdą nam wartości własne zespolone sprzężone to klatka Jordana wygląda tak : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right]}\).

Nie bardzo to przypomina klatkę Jordana. Być może chodzi o takie rozumowanie:
Załóżmy, że macierz (operator) \(\displaystyle{ A}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb R}\) ma wartość własną \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb C \setminus \mathbb R}\) z wektorem własnym \(\displaystyle{ v}\). Wówczas liczba \(\displaystyle{ \bar{\lambda}}\) musi być wartością własną; co więcej wektor \(\displaystyle{ \bar{v}}\) jest dla niej własny (łatwo to sprawdzić). Wektory \(\displaystyle{ v}\), \(\displaystyle{ \bar{v}}\) rozpinają jakąś tam płaszczyznę; zmieńmy bazę biorąc: \(\displaystyle{ v _{1}=v+\bar{v}}\), \(\displaystyle{ v_2= \frac{\bar{v}-v}{i}}\). Wtedy wektory \(\displaystyle{ v_1}\), \(\displaystyle{ v_2}\) należą już do rzeczywistej przestrzeni współrzędnych. Wystarczy popatrzeć teraz na co przechodzą aplikując nasz operator i zobaczyć jak wygląda jego macierz obcięta do \(\displaystyle{ \lin {v_1,v_2}}\) - to właśnie powinno przypominać wyżej zacytowaną macierz
Ach, chyba wiadomo co rozumiem przez nieco nieformalny zapis \(\displaystyle{ \bar{v}}\) ?