Sprawdzić czy funkcja jest iloczynem skalarnym

[Studniek]

Witam,
Przerabiałem sobie właśnie zadania z iloczynem skalarnym i nie mogę poradzić sobie z tym przykładem :
\(\displaystyle{ (p,g)=\sum_{i=1}^{n+1}p(x_i)q(x_i)}\) dla \(\displaystyle{ p,g \in \mathbb{R}_n [x], x_1<x_2<...<x_{n+1}}\)
Niestety ten szereg mnie trochę gubi, do tego p i q są w \(\displaystyle{ \mathbb{R}_n}\) i nie mam pomysłu w jaki sposób to zrobić :/ .
Będę wdzięczny za szkic rozwiązania lub jakieś wskazówki, które pomogą w rozwiązaniu zadania

[matmatmm]

Który warunek sprawia ci tu kłopot?

[Studniek]

Szczerze mówiąc to każdy, bo nie wiem w jaki sposób się do tego zabrać, zacząć. Dla wielomianów stopnia najwyżej dwa można było wziąć sobie losowy wielomian o współczynnikach a,b i na nim prowadzić rozważania, tutaj nie bardzo wiem w jaki sposób to zapisać.

[matmatmm]

Weźmy na przykład addytywność na pierwszą zmienną: Ustalamy wielomiany \(\displaystyle{ p,q,r\in \RR_n[x]}\). Mamy sprawdzić, czy

\(\displaystyle{ (p+q,r)=(p,r)+(q,r)}\)

co jest równoważne

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}(p+q) (x_i)r(x_i)= \sum_{i=1}^{n+1}p(x_i)r(x_i)+\sum_{i=1}^{n+1}q(x_i)r(x_i)}\)

Dasz radę dokończyć?

Co do reszty to polecam podobnie rozpisać definicje (warunek \(\displaystyle{ (p,p)=0 \implies p=0}\) może być trudniejszy)

[Studniek]

Teraz jak tak to napisałeś to już rozumiem
Z tymi pozostałymi sobie poradziłem,a jeszcze tylko mam pytanie czy sprawdzając warunek z \(\displaystyle{ (p,p)}\) mogę napisać, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}p(x_i)p(x_i) =\sum_{i=1}^{n+1}[p(x_i)]^2 \ge 0}\)
(co oczywiście widać i co rozwiązuje warunek 4 i tutaj pytanie czy na tej samej podstawie można udowodnić ostatni warunek? Bo suma równa 0 jest tutaj możliwa jedynie jeśli wielomian jest zerowy, czy potrzeba tutaj jakiegoś głębszego uzasadnienia?

[matmatmm]

Nie wiem jaką masz numerację warunków. Jeśli chodzi o warunek

\(\displaystyle{ (p,p)\ge 0,}\)

to to co napisałeś w zupełności wystarcza. Ale co do warunku

\(\displaystyle{ (p,p)=0 \implies p=0,}\)

to właśnie potrzebne jest głębsze uzasadnienie. Bo niby dlaczego, jeśli dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ p\in\RR_n[x]}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}(p(x_i))^2=0,}\)

to ten wielomian jest zerowy?

[Studniek]

Ponieważ mnożymy ten wielomian przez samego siebie zatem będą występować tam tylko wyrażenia nieujemne np. dla trójmianu
\(\displaystyle{ p=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ [p(x)]^2 = (ax^2+bx+c)^2}\)
analogicznie przy dalszym sumowaniu \(\displaystyle{ x_i}\) będziemy dodawać jedynie wyrazy nieujemne.
Więc jedynie przy wielomianie zerowym jest to możliwe. Próbowałem to jakoś matematycznie ładnie zapisać, zastanawiałem się czy nie spróbować tego zrobić z wyznacznikiem, rozpisując te wielomiany, ale do niczego konkretnego nie doszedłem, jedynie mam takie rozumowanie intuicyjne. Czy mógłbyś przedstawić mi szkic, jak to udowodnić w "poprawny sposób" ?

[a4karo]

Ponieważ mnożymy ten wielomian przez samego siebie zatem będą występować tam tylko wyrażenia nieujemne np. dla trójmianu
\(\displaystyle{ p=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ [p(x)]^2 = (ax^2+bx+c)^2}\)
analogicznie przy dalszym sumowaniu \(\displaystyle{ x_i}\) będziemy dodawać jedynie wyrazy nieujemne.
Więc jedynie przy wielomianie zerowym jest to możliwe. Próbowałem to jakoś matematycznie ładnie zapisać, zastanawiałem się czy nie spróbować tego zrobić z wyznacznikiem, rozpisując te wielomiany, ale do niczego konkretnego nie doszedłem, jedynie mam takie rozumowanie intuicyjne. Czy mógłbyś przedstawić mi szkic, jak to udowodnić w "poprawny sposób" ?

No nie. Przecież może się tak zdarzyć, że liczby \(\displaystyle{ x_i}\) są pierwiastkami tego wielomianu, nieprawdaż? Musisz podać argument, że tak nie może być.

[matmatmm]

Po pierwsze należy zauważyć, że \(\displaystyle{ p(x_i)=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i=1,\ldots,n+1}\). A po drugie można powołać się na twierdzenie, że wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) ma co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków. Ewentualnie można napisać układ równań na współczynniki tego wielomianu. Wyjdzie macierz o niezerowym wyznaczniku (macierz Vandermonde'a).

[Studniek]

Aaa faktycznie, to w takim razie z tego twierdzenia to będzie bezpośrednio wynikać, w takim razie wszystko już rozumiem i sobie poradzę , dziękuję za pomoc