Ortogonalizacja bazy

CzarQ · Post autor: **CzarQ** » 5 cze 2018, o 18:45

Mógłby ktoś krok po kroku powiedzieć jak przeprowadzić ortogonalizację bazy? Np. \(\displaystyle{ v_1=(1,1,0), v_2=(1,0,1), v_3=(0,1,1)}\).

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 5 cze 2018, o 19:00

To się chyba robi rekurencyjnie za pomocą

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta

Nowa baza ortogonalna będzie miała wektory \(\displaystyle{ u_1,u_2,u_3}\) gdzie

\(\displaystyle{ u_1=v_1}\)

\(\displaystyle{ u_2=v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1}\)

\(\displaystyle{ u_3=v_3- \frac{v_3\circ v_1}{v_1\circ v_1}-\frac{v_3\circ \left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right) }{\left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right) \circ \left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right) }\left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right)}\)

CzarQ · Post autor: **CzarQ** » 5 cze 2018, o 19:15

tam w \(\displaystyle{ u_3}\) nie powinien byc w pierwszym ulamku pomnozone przez cos? bo tak to od wektora udejmujemy liczbe

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 5 cze 2018, o 19:20

wydaje mi się że jest ok ale niewykluczone że mogłem się pomylić. Jeśli się pomyliłem to nie będzie spełniony warunek \(\displaystyle{ \left( \forall i,j \right)u_i\circ u_j=0}\). Proponuję policzyć i sprawdzić bo zostało tylko mnożenie i dodawanie teraz.

CzarQ · Post autor: **CzarQ** » 5 cze 2018, o 19:26

jak mnoze to wychodzi że \(\displaystyle{ u_3= \left( -\frac14,1,\frac34 \right) -\frac12}\) ale chyba nie da sie odejmowac wektorow i liczb?

-- 5 cze 2018, o 18:30 --

Janusz Tracz pisze: \(\displaystyle{ u_3=v_3- \frac{v_3\circ v_1}{v_1\circ v_1}-\frac{v_3\circ \left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right) }{\left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right) \circ \left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right) }\left( v_2- \frac{v_2\circ v_1}{v_1\circ v_1}v_1\right)}\)

ten ulamek pierwszy nie powninien byc pomnozony przez \(\displaystyle{ v_3}\)?

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 5 cze 2018, o 19:32

Ah o to Ci chodzi, nie zauważyłem że brakuje tam \(\displaystyle{ ...\cdot v_1}\). Oczywiście dzięki za czujność

CzarQ · Post autor: **CzarQ** » 5 cze 2018, o 19:57

czyli gdyby to byla baza w \(\displaystyle{ \RR^4}\) to \(\displaystyle{ u_4}\) było by równe \(\displaystyle{ v_4 - \frac{v_4\circ u_1}{u_1\circ u_1}u_1- \frac{v_4\circ u_2}{u_2\circ u_2}u_2- \frac{v_4\circ u_3}{u_3\circ u_3}u_3}\)

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 5 cze 2018, o 20:20