Digonalizacaj Macierzy - przykład

[pastafarian08]

Czy macierz jest digonalizowalna:

\(\displaystyle{ f(A) = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&0&3\end{array}\right]}\)

Moje rozwiązanie żeby macierz 3x3 była diagonalizowalna musi posiadać 3 niezależne liniowo wektory własne. Skoro macierz jest trójkątna to jej wartości własne leżą na digonali:
\(\displaystyle{ \lambda_{1,2} = 1 ; \lambda_{1,2} = 3}\)
obliczając po kolei wektory dochodzę do czegoś takiego:

dla \(\displaystyle{ \lambda = 3}\)
\(\displaystyle{ v_{1} = \left[\begin{array}{ccc}0\\ 0\\ \gamma\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma \in \RR}\)


dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\)
\(\displaystyle{ v_{1} = \left[\begin{array}{ccc}-2\alpha\\ \alpha\\ \beta\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\beta \in \RR}\)


i tutaj pytanie:
1) Ile ja tak właściwie mam niezależnych liniowo wektorów własnych?

2) Skoro dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) mam wektory własne zależne od dwóch zmiennych czyli przykładowo mogą to być:
\(\displaystyle{ v_{a} = \left[\begin{array}{ccc}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right]}\);\(\displaystyle{ v_{b} = \left[\begin{array}{ccc}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]}\);\(\displaystyle{ v_{c} = \left[\begin{array}{ccc}-2\\ 1\\ 178\end{array}\right]}\);

to w taki sposób mogę znajdować nieskończenie dużo niezależnych liniowo wektorów własnych?
3) Jeżeli mam nieskończenie dużo niezależnych liniowo wektorów własnych to w takim razie macierz nie jest diagonalizowalna prawda?

[Benny01]

Jeśli masz pierwiastki krotności jeden to macierz zawsze będzie diagonalizowalna.
Jeśli będziesz miał pierwiastki krotności \(\displaystyle{ k}\) to dla danego pierwiastka musisz wygenerować podprzestrzeń \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową.

[pastafarian08]

Jeśli masz pierwiastki krotności jeden to macierz zawsze będzie diagonalizowalna.

Ok to rozumiem.

Jeśli będziesz miał pierwiastki krotności \(\displaystyle{ k}\) to dla danego pierwiastka musisz wygenerować podprzestrzeń \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową.

Nie jestem dobry z algebry ale propraw mnie proszę jeżeli się mylę:
Jeżeli mam pierwiastek dwukrotny to muszę dla niego znaleźć dwa niezależne liniowo wektory, na których rozpina się przestrzeń ("rozpina się przestrzeń" - tak to się mówi prawidłowo? bo intuicyjnie to rozumiem ale nie jestem pewien co do nomenklatury)

Czyli wracając do mojego przykładu to dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) postacie wektorów własnych wyglądają następująco \(\displaystyle{ \lambda = 1 \rightarrow v_{1} = \left[\begin{array}{ccc}-2\alpha\\ \alpha\\ \beta\end{array}\right]}\)

to dla podwójnego pierwiastka \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) tych wektorów liniowo niezależnych jest nieskończenie wiele? a więc moja podrzestrzeń rozpięta na wektorach własnych dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) jest nieskończenie wymiarowa - więc macierz nie jest diagonalizowalna?

Proszę popraw jeżeli się mylę.

[Zymon]

Zacznę od początku:

3) Jeżeli mam nieskończenie dużo niezależnych liniowo wektorów własnych to w takim razie macierz nie jest diagonalizowalna prawda?

Znalezienie nieskończonej ilości liniowo niezależnych wektorów w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej byłoby co najmniej trudne. Spróbuj sobie najpierw odpowiedzieć na pytanie dlaczego.

Ukryta treść:    

Wynika to chociażby z definicji bazy, która jest maksymalnym podzbiorem liniowo niezależnym, a jak wiemy moc bazy jest równa wymiarowi przestrzeni.

Czyli wracając do mojego przykładu to dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) postacie wektorów własnych wyglądają następująco \(\displaystyle{ \lambda = 1 \rightarrow v_{1} = \left[\begin{array}{ccc}-2\alpha\\ \alpha\\ \beta\end{array}\right]}\)

to dla podwójnego pierwiastka \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) tych wektorów liniowo niezależnych jest nieskończenie wiele? a więc moja podrzestrzeń rozpięta na wektorach własnych dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) jest nieskończenie wymiarowa - więc macierz nie jest diagonalizowalna?

W tym przypadku Twój wektor (w sumie nie wiem nawet jak to nazwać, zawsze unikałem tej notacji jak ognia) zależy od dwóch parametrów, a więc podprzestrzeń własna dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) to \(\displaystyle{ V_{\lambda_{1}}=\mathcal{L}([-2, 1, 0]. [0, 0, 1])}\) o ile oczywiście dobrze interpretuję Twoje zapiski.