Kiedy macierz jest diagonalizowalna?

[brak_loginu]

Witam. Wiem, że taki temat pojawiał się już wielokrotnie, lecz wciąż mam problem ze zrozumieniem zagadnienia. Prosiłbym o w miarę proste wytłumaczenie, kiedy da się zdiagonalizować macierz. Wiem, że wyznacznik macierzy przejścia musi być różny od zera oraz, że praktycznie każdą macierz o pojedynczych wartościach własnych można przedstawić w postaci diagonalnej. Prosiłbym więc o wyjaśnienie, kiedy da się zdiagonalizować macierz, w której występuje kilka takich samych wartości własnych.-- 2 cze 2018, o 20:42 --Znalazłem taki temat: https://www.matematyka.pl/209522.htm. Czy dobrze rozumiem, że krotność geometryczna to liczba wektorów własnych macierzy A, które powstają, gdy w tej macierzy za lambda podstawi się daną wartość własną?

[karolex123]

Krotność geometryczna wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\) to wymiar przestrzeni własnej \(\displaystyle{ V_\lambda}\), to znaczy ilość liniowo niezależnych wektorów \(\displaystyle{ v}\), które spełniają: \(\displaystyle{ Av=\lambda v}\) (czyli wektory, które są skalowane przez przekształcenie zadane macierzą \(\displaystyle{ A}\) przez \(\displaystyle{ \lambda}\) )
I właśnie, warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by macierz \(\displaystyle{ A}\) była diagonalizowalna jest właśnie rozkład wielomianu charakterystycznego tej macierzy na czynniki liniowe i ponadto równości krotności algebraicznych i geometrycznych wszystkich wartości własnych.
Innym kryterium jest też badanie wielomianu minimalnego, ale nie jest to konieczne
Dodam jeszcze, że może się zdarzyć, że wielomian charakterystyczny może nad jakimś niedobrym ciałem (niedomkniętym algebraicznie) nie rozkładać się na czynniki liniowe. To od razu dyskwalifikuje macierz z bycia diagonalizowalną. Na odwrót- jeśli wielomian się rozkłada na czynniki liniowe, to niestety nie możemy wnioskować, że macierz jest diagonalizowalna.

[brak_loginu]

Dzięki wielkie
Mógłbyś jeszcze wyjaśnić mi, jaka jest krotność wektora zerowego?

[karolex123]

Wektor zerowy nie ma krotności, bo nie może być własny. Gdybyśmy przyjęli że może tak być to każdy element ciała byłby wartością własną; poza tym my chcemy mieć bazę wektorów własnych, a wektor zerowy nie bardzo tam pasuje..