Układ liniowy - rozwiązanie szczególne i problem jednorodny

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ForestWillow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 cze 2018, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska Kraina
Podziękował: 5 razy

Układ liniowy - rozwiązanie szczególne i problem jednorodny

Post autor: ForestWillow »

Cześć

Aktualnie na zajęciach mamy rozwiązywanie układów liniowych metodą Gaussa i prowadzący rzucił nam pewien schemat, którego niestety nie rozumiem do końca.

Mam problem z tym przykładem:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+3y+2z=0\\ 2x-y+z=1\\3x+2y+3z=1\end{cases}}\)

1. Liczę rząd macierzy "przerabiając" na macierz pseudotrójkątną.

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cccc}1&3&2&0\\2&-1&1&1\\3&2&3&1\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1&3&2&0\\0&-7&-3&1\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ r(A)=2}\)
\(\displaystyle{ r(A _{r}) = 2}\) - macierz rozszerzona

2. Liczę wymiar przestrzeni:

\(\displaystyle{ dim R(A,0) = 3-2 = 1}\)

Czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

2. Rozwiązanie szczególne.

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+3y+2z=0\\ -7y-3z=1\end{cases}}\)

Tu w "schemacie" z lekcji mam zapisane: Zmienne niezależne liniowo przerzucamy na prawą stronę i podstawiamy za nie \(\displaystyle{ 0}\).

Lecz po wykonaniu tego działania otrzymuje taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-3y-2z\\ 0=7y+3z+1\end{cases}}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ 0}\) za zmienne niezależne liniowo i otrzymuję sprzeczność:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\ 0=1 \rightarrow 0 \neq 1\end{cases}}\)

Mógłby ktoś mnie nakierować w rozwiązaniu tego przykładu?
Z góry dziękuje za odpowiedzi
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Układ liniowy - rozwiązanie szczególne i problem jednoro

Post autor: Janusz Tracz »

W

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_eliminacji_Gaussa
chodzi o to by z macierzy układy zrobić (za pomocą działań na wierszach ) przynajmniej macierz schodkową a jeszcze lepiej diagonalną a najlepiej jednostkową. Układ równań zapisany w postaci macierzowej tłumaczy jak to działa. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) to macierz układu oraz \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\) to wektor niewiadomych a \(\displaystyle{ \mathbf{b}}\) to wektor wyników to układ równań liniowych zapisujemy w języku macierzy jako \(\displaystyle{ A\mathbf{x}=\mathbf{b}}\). W tym przypadku:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+3y+2z=0\\ 2x-y+z=1\\3x+2y+3z=1\end{cases}
\ \ \Leftrightarrow \ \ \left[\begin{array}{cccc}1&3&2\\2&-1&1\\3&2&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0\\1\\1\end{array}\right]}\)


Taki układ jest definiowany za pomocą swojej macierzy i wektora wyników, wektor niewiadomych jest w tym momencie nieistotny jako że i tak go nie znamy. Tworzy się macierz dołączoną jako \(\displaystyle{ \left[ A |\mathbf{b} \right]}\) i za pomocą operacji elementarnych na wierszach (mnożenie przez liczbę różną od zera i dodawanie wierszy) doprowadza się tą macierz do postaci schodkowej a jeśli to możliwe (warunkiem jest by \(\displaystyle{ \det A \neq 0}\)) do postaci \(\displaystyle{ \left[ I |\mathbf{c} \right]}\) wtedy wektor \(\displaystyle{ \mathbf{c}}\) jest równy \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\) i tym sposobem znajduje się rozwiązanie. Co do liczenia rzędów jakie robisz to prowadzący pewnie miał na myśli tw.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Kroneckera-Capellego
ale wydaje mi się że można wnioskować też innymi metodami o liczbie rozwiązań układu. Jeśli chodzi o sam algorytm to zera najwygodniej robić pod diagonalną doprowadzając \(\displaystyle{ A}\) do macierzy trójkątnej dolnej.
ForestWillow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 cze 2018, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska Kraina
Podziękował: 5 razy

Re: Układ liniowy - rozwiązanie szczególne i problem jednoro

Post autor: ForestWillow »

Dzięki bardzo, teraz już się rozjaśniło
ODPOWIEDZ