Liniowa zależność nieskończonego zbioru funkcji.

MKultra · Post autor: **MKultra** » 1 cze 2018, o 17:08

Cześć!

Rozpatrzę zbiór funkcji: \(\displaystyle{ \left\{ f _{n}(a,b)=\sin(p(n)+q(a,b)):n \in \mathbb{N}, n \le N\right\}}\).
Jest on również liniowo niezależny dla każdego \(\displaystyle{ N}\).
Pytanie: Co musi być spełnione by wszystkie funkcje tej postaci były liniowo niezależne. Tzn. jeżeli istnieją skalary takie, że kombinacja liniowo owych funkcji z skalarami równa była równa zero to te skalary są równe zero.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 1 cze 2018, o 18:13

Wrońskian musi być różny od zera.

Patrz na przykład:

KARLIN and STUDDEN. TCHBYBYCHEVS SYSTEM WITH APPLICATIONS IN ANALYSIS and STATISTICS.
Ed. JOHN WILEY and SONS 1966.

MKultra · Post autor: **MKultra** » 1 cze 2018, o 18:53

janusz47 pisze:Wrońskian musi być różny od zera.

Patrz na przykład:

KARLIN and STUDDEN. TCHBYBYCHEVS SYSTEM WITH APPLICATIONS IN ANALYSIS and STATISTICS.
Ed. JOHN WILEY and SONS 1966.

1. Czy istnieje Wrońskian z nieskończonej ilości funkcji? A może te pytanie sprowadza się do tego, że granica z ilości funkcji mojego typu (tego co wskazałem) wrońskianu ma być różna od zera?
2. Nie mogę znaleźć darmowego PDF-u książki, którą podałeś.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 1 cze 2018, o 19:15

Nie istnieje. Trudno mi powiedzieć, czy istnieje darmowy PDF tej książki.

MKultra · Post autor: **MKultra** » 2 cze 2018, o 11:06

1. Po sprawdzeniu Wrońskian się nie przydaje przy sinusach.
2. Pytanie: Jeżeli skalary są liczbami rzeczywistymi, a argumenty \(\displaystyle{ N}\) rozpatrywanych funkcji są pewnym podzbiorem liczb rzeczywistych(dokładniej to są liczby współmierne z \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} )}\) , to czy można mówić o liniowej zależności?

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 2 cze 2018, o 14:19

Dlaczego Wrońskian się nie przydaje dla funkcji sinus?

Można mówić ale czy zawsze? Nie wiem.

MKultra · Post autor: **MKultra** » 3 cze 2018, o 10:15

janusz47 pisze:Dlaczego Wrońskian się nie przydaje dla funkcji sinus?

Można mówić ale czy zawsze? Nie wiem.

Ponieważ funkcje sinus są liniowo niezależne, jednocześnie \(\displaystyle{ 3.}\) wiersz wyznacznika(Wrońskianu) zawiera wiersz \(\displaystyle{ 1.}\) przemnożony przez stałą. Oznacza to, że Wrońskian nie jest różny od zera.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 3 cze 2018, o 10:50

MKultra pisze:Cześć!

Rozpatrzę zbiór funkcji: \(\displaystyle{ \left\{ f _{n}(a,b)=\sin(p(n)+q(a,b)):n \in \mathbb{N}, n \le N\right\}}\).
Jest on również liniowo niezależny dla każdego \(\displaystyle{ N}\).
Pytanie: Co musi być spełnione by wszystkie funkcje tej postaci były liniowo niezależne. Tzn. jeżeli istnieją skalary takie, że kombinacja liniowo owych funkcji z skalarami równa była równa zero to te skalary są równe zero.

Liniową niezależność nieskończonego układu wektorów definiuje się jako liniową niezależność każdego skończonego podzbioru. Więc skoro zakładasz liniową niezależność kawałków od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ N}\), to masz liniową niezależność całego układu

MKultra · Post autor: **MKultra** » 3 cze 2018, o 13:15

To dziwne... A tak się jeszcze raz upewnię: czy skończony zbiór funkcji \(\displaystyle{ f _{N}(x)=\sin(a _{N}+x)}\) jest liniowo niezależny?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 3 cze 2018, o 13:34

A to zależy od \(\displaystyle{ a_N}\)

MKultra · Post autor: **MKultra** » 3 cze 2018, o 13:41

A jakie kryterium musi spełniać \(\displaystyle{ a _{N}}\) ?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 3 cze 2018, o 13:46

Podejrzewam, że to jest temat na fajną pracę. I być może ktoś to już zrobił.-- 3 cze 2018, o 13:24 --E...
Wszystkie funkcje postaci \(\displaystyle{ \sin(a_n+x)}\) leżą w przestrzeni co najwyżej dwuwymiarowej rozpiętej na funkcjach \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\). Zatem jeżeli \(\displaystyle{ N>2}\) to na pewno nie są liniowo.

Pomyśl kiedy ta przestrzeń jest jednowymiarowa.

Matematyka.pl