Dowód- macierze digonalizowalne

[pastafarian08]

Witam, mam zadanie:
Udowodnij, że jeżeli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna to zachodzi:
\(\displaystyle{ e^{f(A)} \cdot e^{g(A)} = e^{f(A)+g(A)}}\)

Nie rozwiązałem tego, tzn nie wiem do końca jak to rozwiązać ale moja próba wygląda tak:
\(\displaystyle{ A = Q\Lambda Q^{-1}}\) ,gdzie:
- \(\displaystyle{ \Lambda}\) jest macierzą diagonalną z wartościami własnymi na diagonali:
- \(\displaystyle{ Q}\) - macierz wektorów własnych macierzy \(\displaystyle{ A}\)

Dalej korzystam z własności macierzy diagonalizowalnej(pokazuję dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\), ale dowód dla macierzy o wymiarze \(\displaystyle{ n}\))
\(\displaystyle{ f(A) = Q\left[\begin{array}{ccc}f(\lambda_{1})&0&0\\0&f(\lambda_{2})&0\\0&0&f(\lambda_{3})\end{array}\right]Q^{1}}\)

tak samo dla \(\displaystyle{ f(B)}\)

\(\displaystyle{ f(A)+ f(B) = Q\left[\begin{array}{ccc}f(\lambda_{1})&0&0\\0&f(\lambda_{2})&0\\0&0&f(\lambda_{3})\end{array}\right]Q^{-1}+Q\left[\begin{array}{ccc}g(\lambda_{1})&0&0\\0&g(\lambda_{2})&0\\0&0&g(\lambda_{3})\end{array}\right]Q^{-1}}\)

czy mogę teraz zrobić takie przejście??

\(\displaystyle{ f(A)+ f(B) = Q\left[\begin{array}{ccc}f(\lambda_{1})+g(\lambda_{1})&0&0\\0&f(\lambda_{2})+g(\lambda_{2})&0\\0&0&f(\lambda_{3})+g(\lambda_{2})\end{array}\right]Q^{-1}}\)


Jeżeli nie to jak inaczej mogę przeprowadzić ten dowód?