Izomorfizm liniowy

[TorrhenMathMeth]

Niech \(\displaystyle{ \phi : V \rightarrow V}\) będzie izomorfizmem liniowym przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ \left( V, \left\langle .,.\right\rangle \right)}\). Załóżmy, że dla dowolnych wektorów \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in V}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left( \alpha \perp \beta \Rightarrow \phi(\alpha) \perp \phi(\beta) \right)}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest złożeniem izometrii i jednokładności.

[leg14]

Wybierz w \(\displaystyle{ V}\) jakąś bazę ortonormalną. Czy jej obrazem przy \(\displaystyle{ \phi}\) jest baza ortogonalna?

[TorrhenMathMeth]

Hmmm być może? So what?

[leg14]

Jak przekształcenie przerzuca bazę ortonormalną na ortonormalną, to chyba jest izometrią prawda?

[TorrhenMathMeth]

A jednokładność?

[leg14]

Na razie proponuję żebyś pokazał, że Fi przerzuca bazę ortonormalną na ortogonalną (do izometrii potrzebujesz przerzucanie bazy ortonormalnej na ortonormalną).
Póżniej odpowiedz sobie na pytanie, jak łatwo możesz otrzymaną bazę przekształcić do ortonormalnej (hint:

Ukryta treść:    

wszystkie elementy mają tę samą normę

)