Izometrie liniowe

[TorrhenMathMeth]

Niech \(\displaystyle{ \left( V, \left\langle .,. \right\rangle \right)}\) będzie przestrzenią euklidesową, \(\displaystyle{ dimV=n}\).
Załóżmy, że mamy dane dwa ciągi niezerowych podprzestrzeni w \(\displaystyle{ V: \ \ V_{1}...V_{n-1} \ , \ \ W_{1}...W_{n-1}}\) spełniające dla \(\displaystyle{ i \neq j}\) warunki \(\displaystyle{ V_{i} \neq V_{j}}\) i \(\displaystyle{ W_{i} \neq W_{j}}\). Niech ponadto \(\displaystyle{ V_{1} \subseteq V_{2} \subseteq ... \subseteq V_{n-1}}\) i \(\displaystyle{ W_{1} \subseteq W_{2} \subseteq ... \subseteq W_{n-1}}\)
Policzyć ile jest izometrii liniowych \(\displaystyle{ \phi : V \rightarrow V}\) spełniających \(\displaystyle{ \phi \left( V_{i} \right) \subset W_{i} \ \ \forall i=1,2,...,n-1}\)

[leg14]

Zacznij od odpowiedzenia sobie na oytanie, jak mogąwyglądać wymiary przestrzeni \(\displaystyle{ V_i, W_i}\) (możesz je wyznaczyć z dokładnościądo 1). I jak musi się mieć wymiar \(\displaystyle{ V_i}\) do \(\displaystyle{ W_i}\)

[TorrhenMathMeth]

Może jakaś podpowiedź? Myślałem trochę nad tym zadaniem i nie mam jak na razie pomysłów.

[leg14]

Zacznij od tego, co napisałem. Jaki wymiar (na przykład) może mieć \(\displaystyle{ V_1}\)?

[TorrhenMathMeth]

Na pewno mniejszy niż \(\displaystyle{ dimV}\) i na pewno mniejszy od wszystkich następnych \(\displaystyle{ V_{i}}\), w tym mniejszy równy \(\displaystyle{ V_{2}}\)

[leg14]

w tym mniejszy równy

A skorzystaj z treści zadania. Może jednak można powiedzieć, że mniejszy?

[TorrhenMathMeth]

Rzeczywiście, można

I co dalej?

[leg14]

Czyli różnica między \(\displaystyle{ \mbox{dim}\,V_i}\) a \(\displaystyle{ \mbox{dim}\, V_{i+1}}\) jest równa co najmniej \(\displaystyle{ 1}\). Ile maksymalnie może być równa? Hint: wiesz, że cała przestrzeń ma wymiar \(\displaystyle{ n}\).

[TorrhenMathMeth]

Na pewno nie może być większa niż \(\displaystyle{ 2}\), bo wtedy ostatnie podprzestrzenie \(\displaystyle{ V_{i}}\) przekroczyłyby wymiarem \(\displaystyle{ V}\). Nie jestem tylko pewien czy różnica może być równa \(\displaystyle{ 2}\). Intuicja mówi mi, że nie, ale głowy nie dam

[leg14]

Nie jestem tylko pewien czy różnica może być równa 2

moze

[TorrhenMathMeth]

Zatem minimalnie \(\displaystyle{ 1}\) a maksymalnie \(\displaystyle{ 2}\). I co dalej?

[leg14]

Powiedzmy, że masz dwie przestrzenie liniowe \(\displaystyle{ V \subset W}\) różniące się o jeden wymiar. W \(\displaystyle{ V}\) masz wybraną jakąś bazę ortogonalną.Czy jesteś w stanie uzupełnić tę bazę do bazy ortogonalnej \(\displaystyle{ W}\)?

Dodatkowo zauważ, że wymiar może co najwyżej raz skoczyć o jeden. Ten skok w V musi się pojawić później, niż w W. Ułatwiło by Ci zadanie, gdybyś miał wstępujący ciąg podprzestrzeni skaczących o jeden. Spróbuj to zrobić

EDITTTL: W ogóle zacznij od zrobienia zadania, gdy wymiar ani razu nie skacze o 2. (korzystając z pierwszego mojego akapitu)

[TorrhenMathMeth]

Okej już trochę chyba łapię jak do tego podejść. Dzięki.