Wymiar i baza podprzestrzeni

[lolo666]

Mam znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni następującej przestrzeni:
\(\displaystyle{ U = \left\{ f \in \mathBB{R}_{3}[x]: f(1)=f(2)\right\} \subset \mathBB{R}_{3}[x]}\)

Nie jestem pewny, czy robię to dobrze, ale napiszę jak to robiłem krok po kroku:
\(\displaystyle{ f(x)=a \cdot x^{3}+ b \cdot x^{2} + c \cdot x + d \\
f(1)=a+b+c+d \\
f(2)=8\cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c + d \\
8\cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c + d = a+b+c+d \\
7\cdot a + 3 \cdot b + c = 0 \\
U = \left\{ a,b,c \in \mathBB{R}: 7\cdot a + 3 \cdot b + c = 0 \right\} = \left\{ a,b,c \in \mathBB{R}: a(7,0,0) + b(0,3,0)+ c(0,0,1) \right\} \\
\text{Baza U:} \left\{ (7,0,0), (0,3,0), (0,0,1)\right\}\\
\dim U = 3}\)
Na ćwiczeniach nie miałem zadań z bazami podprzestrzeni przestrzeni funkcyjnej, więc nie wiem, czy to zadanie zrobiłem dobrze.
Jeśli jest coś źle, to chcę wiedzieć, abym na przyszłość nie popełniał błędów. Pozdrawiam

[janusz47]

Dobrze !

Na początku zamknij nawias klamrowy \(\displaystyle{ U.}\)

Na końcu dopisz

\(\displaystyle{ a, b, c \in \RR .}\)

[Janusz Tracz]

Ja bym to robił inaczej. Moim zdaniem gubisz informacje o tym że to jest przestrzeń funkcyjna. Nie prawdą jest że \(\displaystyle{ U=\text{lin} \left\{ (7,0,0), (0,3,0), (0,0,1)\right\}}\).

\(\displaystyle{ R_3\left[ x\right]=\left\{ ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d\in\RR\right\}= \text{lin} \left\{x^3,x^2,x,1\right\}}\)

natomiast \(\displaystyle{ U}\) to zbiór \(\displaystyle{ R_3\left[ x\right]}\) z dodatkowym warunkiem \(\displaystyle{ f(1)=f(2)\ \ \Leftrightarrow \ \ 7a+3b+c=0}\) czyli można zapisać że

\(\displaystyle{ U=\left\{ ax^3+bx^2+(-7a-3b)x+d : a,b,d\in\RR\right\}=\left\{ a(x^3-7x)+b(x^2-3x)+d : a,b,d\in\RR\right\}=\\ \text{lin} \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1\right\}}\)

I dlatego uważam że baza \(\displaystyle{ U}\) to \(\displaystyle{ \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1\right\}}\) a wymiar to \(\displaystyle{ \dim U= \left| \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1 \right\}\right| =3}\)

[karolex123]

Pozwolę sobie dodać, że wymiar tej podprzestrzeni mamy właściwie za darmo, bo jest opisywana przez jedno nietrywialne równanie liniowe. Znając wymiar można łatwo odgadnąć wektory, które są liniowo niezależne, a ponadto oczywiście spełniają równanie \(\displaystyle{ f(1)=f(2)}\), np.
\(\displaystyle{ \left\{ 1,\left( x- \frac{3}{2} \right)^2, x^3-7x \right\}}\)