Mam znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni następującej przestrzeni:
\(\displaystyle{ U = \left\{ f \in \mathBB{R}_{3}[x]: f(1)=f(2)\right\} \subset \mathBB{R}_{3}[x]}\)
Nie jestem pewny, czy robię to dobrze, ale napiszę jak to robiłem krok po kroku:
\(\displaystyle{ f(x)=a \cdot x^{3}+ b \cdot x^{2} + c \cdot x + d \\
f(1)=a+b+c+d \\
f(2)=8\cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c + d \\
8\cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c + d = a+b+c+d \\
7\cdot a + 3 \cdot b + c = 0 \\
U = \left\{ a,b,c \in \mathBB{R}: 7\cdot a + 3 \cdot b + c = 0 \right\} = \left\{ a,b,c \in \mathBB{R}: a(7,0,0) + b(0,3,0)+ c(0,0,1) \right\} \\
\text{Baza U:} \left\{ (7,0,0), (0,3,0), (0,0,1)\right\}\\
\dim U = 3}\)
Na ćwiczeniach nie miałem zadań z bazami podprzestrzeni przestrzeni funkcyjnej, więc nie wiem, czy to zadanie zrobiłem dobrze.
Jeśli jest coś źle, to chcę wiedzieć, abym na przyszłość nie popełniał błędów. Pozdrawiam
Wymiar i baza podprzestrzeni
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Wymiar i baza podprzestrzeni
Ja bym to robił inaczej. Moim zdaniem gubisz informacje o tym że to jest przestrzeń funkcyjna. Nie prawdą jest że \(\displaystyle{ U=\text{lin} \left\{ (7,0,0), (0,3,0), (0,0,1)\right\}}\).
\(\displaystyle{ R_3\left[ x\right]=\left\{ ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d\in\RR\right\}= \text{lin} \left\{x^3,x^2,x,1\right\}}\)
natomiast \(\displaystyle{ U}\) to zbiór \(\displaystyle{ R_3\left[ x\right]}\) z dodatkowym warunkiem \(\displaystyle{ f(1)=f(2)\ \ \Leftrightarrow \ \ 7a+3b+c=0}\) czyli można zapisać że
\(\displaystyle{ U=\left\{ ax^3+bx^2+(-7a-3b)x+d : a,b,d\in\RR\right\}=\left\{ a(x^3-7x)+b(x^2-3x)+d : a,b,d\in\RR\right\}=\\ \text{lin} \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1\right\}}\)
I dlatego uważam że baza \(\displaystyle{ U}\) to \(\displaystyle{ \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1\right\}}\) a wymiar to \(\displaystyle{ \dim U= \left| \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1 \right\}\right| =3}\)
\(\displaystyle{ R_3\left[ x\right]=\left\{ ax^3+bx^2+cx+d : a,b,c,d\in\RR\right\}= \text{lin} \left\{x^3,x^2,x,1\right\}}\)
natomiast \(\displaystyle{ U}\) to zbiór \(\displaystyle{ R_3\left[ x\right]}\) z dodatkowym warunkiem \(\displaystyle{ f(1)=f(2)\ \ \Leftrightarrow \ \ 7a+3b+c=0}\) czyli można zapisać że
\(\displaystyle{ U=\left\{ ax^3+bx^2+(-7a-3b)x+d : a,b,d\in\RR\right\}=\left\{ a(x^3-7x)+b(x^2-3x)+d : a,b,d\in\RR\right\}=\\ \text{lin} \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1\right\}}\)
I dlatego uważam że baza \(\displaystyle{ U}\) to \(\displaystyle{ \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1\right\}}\) a wymiar to \(\displaystyle{ \dim U= \left| \left\{ x^3-7x,x^2-3x,1 \right\}\right| =3}\)
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Wymiar i baza podprzestrzeni
Pozwolę sobie dodać, że wymiar tej podprzestrzeni mamy właściwie za darmo, bo jest opisywana przez jedno nietrywialne równanie liniowe. Znając wymiar można łatwo odgadnąć wektory, które są liniowo niezależne, a ponadto oczywiście spełniają równanie \(\displaystyle{ f(1)=f(2)}\), np.
\(\displaystyle{ \left\{ 1,\left( x- \frac{3}{2} \right)^2, x^3-7x \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ 1,\left( x- \frac{3}{2} \right)^2, x^3-7x \right\}}\)