Równanie macierzowe

[uczennn]

Wie ktoś może jak zabrać się za to zadanie? Nie wiem czy dobry tytuł wpisu, bo nie wiem czy chodzi o rozwiązanie równania macierzowego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x + 5y + 3z = 25 \\ 7x + 9y + 19z = 65 \\ -4x + 5y + 11z = 5\end{cases}}\)

Napisać macierz współczynników \(\displaystyle{ A}\) dla układu równań, oraz macierz rozszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych \(\displaystyle{ b}\) (macierz dołączoną). Sprawdzić, że:

\(\displaystyle{ Ax = b}\)

gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest wektorem o składowych \(\displaystyle{ x_1 = x, x_2 = y}\) oraz \(\displaystyle{ x_3 = z}\).

[Jan Kraszewski]

To nie jest równanie macierzowe, tylko układ równań liniowych.

To jest zupełnie elementarne polecenie. Powinieneś wiedzieć z wykładu, co to jest macierz współczynników tego układu (podpowiem, że to macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\)).

JK

[shreder221]

Może kolega nie był na wykładzie A może nie jest pewien i chce się upewnić czy dane nazwy znaczą to co myśli?

Ale wracając do tematu.

macierz współczynników A dla układu równań

Chodzi po prostu o skrócenie zapisu równania na postać bez zmiennych znaku, =, wyniku i klamry.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+z=6 \\ 3x+4y=5 \end{cases}}\)

zamieniasz na
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\3&4&0\end{array}\right]}\)

macierz dołączona

Jak nazwa mówi DOŁĄCZASZ kolemnę wyników

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&0&1&6\\3&4&0&5\end{array}\right]}\)

Jak byś chciał coś więcej z podstaw to mnóstwo takich poradników jest w google bym coś wkleił ale regulamin zabrania ;(

[uczennn]

shreder221, masz rację, nie byłem akurat na pierwszym wykładzie i dlatego. A skąd wziąłeś kolumnę trzecią z wartościami \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?

-- 12 maja 2018, o 21:40 --

Czyli rozwiązanie mojego zadania to po prostu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}3x_1&5x_2&3x_3 & 25 \\7x_1&9x_2&19x_3&65\\ -4x_1 & 5x_2 & 11x_3 & 5\end{array}\right]}\)

i macierz dołączona:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3x_1&5x_2&3x_3&25 \\7x_1&9x_2&19x_3&65\\ -4x_1 & 5x_2 & 11x_3&5\end{array}\right]}\)

Trochę się rozjechały do nowego wiersza wyrazy wolne, one powinny być w wierszach 1,2,3

[Jan Kraszewski]

shreder221, masz rację, nie byłem akurat na pierwszym wykładzie i dlatego.

To trzeba szybko uzupełnić notatki...

Czyli rozwiązanie mojego zadania to po prostu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}3x_1&5x_2&3x_3 & 25 \\7x_1&9x_2&19x_3&65\\ -4x_1 & 5x_2 & 11x_3 & 5\end{array}\right]}\)

W żadnym wypadku. Wyrazami macierzy mają być liczby.

Macierz \(\displaystyle{ A}\) to

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&5&3 \\7&9&19\\ -4 & 5 & 11\end{array}\right]}\)

JK

[uczennn]

No ok, a co w takim razie z tym b? czyli to b to będzie to co napisałeś z tym, że jeszcze z wyrazami wolnymi? no i po co są te \(\displaystyle{ x=x_1, y=x_2, z=x_3}\)

[Jan Kraszewski]

No ok, a co w takim razie z tym b? czyli to b to będzie to co napisałeś z tym, że jeszcze z wyrazami wolnymi?

Nie. W ten sposób tworzysz macierz dołączoną: będzie ona macierzą \(\displaystyle{ 3\times 4}\), gdzie ostatnią kolumną będzie kolumna (wektor) wyrazów wolnych.

\(\displaystyle{ b}\) to wektor wyrazów wolnych: \(\displaystyle{ b=\begin{bmatrix}25 \\ 65 \\ 5\end{bmatrix}.}\)

no i po co są te \(\displaystyle{ x=x_1, y=x_2, z=x_3}\)

Masz sprawdzić, że

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}3&5&3 \\7&9&19\\ -4 & 5 & 11\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25 \\ 65 \\ 5\end{bmatrix}}\)

co jest weryfikacją tego, że poprawnie wyznaczyłeś macierz \(\displaystyle{ A}\) i wiesz, jak mnoży się macierze (i porównuje je).

JK

[uczennn]

No i wymnożyłem to i co dalej?

[shreder221]

I co ci wyszło?

Widzę że JK nie wyjaśnił więc:

A skąd wziąłeś kolumnę trzecią z wartościami \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?

1 kolumna współczynniki zmiennej \(\displaystyle{ x}\), 2 kolumna współczynniki zmiennej \(\displaystyle{ y}\), 3 kolumna współczynniki zmiennej \(\displaystyle{ z}\).

Nwm może nie zauważyłeś ale w układzie są 3 zmienne w pierwszym równaniu jawnie podane \(\displaystyle{ x,z}\) i w drugim równaniu jawnie podane \(\displaystyle{ x,y}\). W układzie równań to żaden problem i nikt nie pisze \(\displaystyle{ 0z}\) i \(\displaystyle{ 0y}\) {i nawet głupio to wygląda :p} Ale w macierzy trzeba zapisać jawnie \(\displaystyle{ 0}\).

btw. Specjalnie dałem te \(\displaystyle{ 0}\) a potem zapomniałem wyjaśnić ;(

Macierz \(\displaystyle{ A}\) miałeś podaną to zapiszę na wszelki wypadek macierz dołączoną.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}3&5&3 & 25 \\7&9&19&65\\ -4 & 5 & 11 & 5\end{array}\right]}\)

[uczennn]

shreder221, No to ja ma wyglądać odpowiedź na to zadanie? co trzeba podac? macierz dołączoną i macierz współczynników i na tym sie konczy zadanie?

[Jan Kraszewski]

No przecież masz napisane w zadaniu, wystarczy przeczytać:

Napisać macierz współczynników \(\displaystyle{ A}\) dla układu równań, oraz macierz rozszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych \(\displaystyle{ b}\) (macierz dołączoną). Sprawdzić, że:

\(\displaystyle{ Ax = b}\)

gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest wektorem o składowych \(\displaystyle{ x_1 = x, x_2 = y}\) oraz \(\displaystyle{ x_3 = z}\).

Masz zrobić trzy rzeczy:
1. Napisać macierz \(\displaystyle{ A}\).
2. Napisać macierz dołączoną.
3. Wykonać sprawdzenie, że \(\displaystyle{ Ax = b}\).

JK