Oblicz wyznacznik macierzy

[rzeznikzblaviken]

Niech \(\displaystyle{ n \in \NN, a \in \QQ, A = (a_{i, j})_{i \leq i, j \leq n} \in \QQ^{n\times n}}\) z \(\displaystyle{ a_{i, j} = 1}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\). Oblicz wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Wiem, że wyznacznik będzie kombinacją iloczynów liczb w przekątnej w stylu:
\(\displaystyle{ abc - a - b - c + 2}\) dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\). Albo \(\displaystyle{ abcd - ab - ad - bd - cd + 2a - 2c - 2d + b - 2}\) (czy coś w tym stylu) dla macierzy \(\displaystyle{ 4\times 4}\), ale nie wiem jak to zapisać.

[Tmkk]

A jak wyglądają wyrazy na diagonali? Czy mają być dowolne i chcesz napisać ogólny wzór?

[rzeznikzblaviken]

Tak, \(\displaystyle{ a_{11}, a_{22}... a_{nn} \in \QQ}\).

[Tmkk]

Rozpatrz \(\displaystyle{ 3}\) przypadki:
a) co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) z liczb \(\displaystyle{ a_{11}, a_{22}, \ldots ,a_{nn}}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\) (bez straty ogólności możesz zakładać, że dwie pierwsze)
b) dokładnie jedna z tych liczb jest równa \(\displaystyle{ 1}\)
c) żadna z nich nie jest równa \(\displaystyle{ 1}\)

W pierwszym przypadku sprawa jest prosta - wyznacznik to \(\displaystyle{ 0}\), bo masz dwa takie same wiersze. W drugim przypadku, jeśli \(\displaystyle{ a_{11} = 1}\), wystarczy odjąć pierwszy wiersz od pozostałych i dostajemy macierz górnotrójkątną. W trzecim przypadku robimy podobnie jak w drugim, spróbuj sam : )

[rzeznikzblaviken]

Przypadki a) i b) od razu odpadają, bo \(\displaystyle{ a_{i, j} = 1}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\), czyli w przekątnej nie mogą być 1. Jak odejmę 1 wiersz od pozostałych wychodzi mi macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
a_{11} & 1 & 1\\
1-a_{11} & a_{22}-1 & 0\\
1-a_{11} & 0 & a_{33}-1
\end{bmatrix}}\)

[Tmkk]

W treści zadania, którą podałeś, nie ma napisane, ze wyrazy na przekątnej nie są jedynkami, tylko że wyrazy poza przekątną są jedynkami.

Ok, teraz od pierwszego wiersza odejmij \(\displaystyle{ i}\)-ty wiersz, podzielony przez \(\displaystyle{ a_{ii}-1}\) dla \(\displaystyle{ i = 2,3,\ldots ,n}\). Dostaniesz macierz dolnotrójkątną.