Wyznaczenie bazy przestrzeni kwadratów magicznych 3x3

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
tomwanderer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: obecnie Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 45 razy

Wyznaczenie bazy przestrzeni kwadratów magicznych 3x3

Post autor: tomwanderer »

W pewnej książce poświęconej kombinatoryce znalazłem zadanie:

Kwadratem magicznym rozmiaru \(\displaystyle{ n \mbox{ x } n}\) nazywamy macierz \(\displaystyle{ n\mbox{ x }n}\), której wyrazy są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz w której sumy wyrazów w każdym wierszu i każdej kolumnie są sobie równe.
Wyznaczyć liczbę kwadratów magicznych rozmiaru \(\displaystyle{ 3 \mbox{ x }3}\), w których sumy te wynoszą \(\displaystyle{ r}\).

Pomyślałem, że każdy taki kwadrat (odtąd: macierz) musi być sumą \(\displaystyle{ r}\) macierzy, w których każdy wiersz i każda kolumna zawierają po jednej jedynce i dwa zera (tj. takich, dla których \(\displaystyle{ r=1}\)), a takich macierzy jest 6. Gdyby owe 6 macierzy stanowiło bazę, to odpowiedzią na zadanie byłoby \(\displaystyle{ {r+6-1 \choose 6-1} ={r+5 \choose 5}}\), czyli liczba \(\displaystyle{ r}\)-elementowych multizbiorów utworzonych z elementów tej \(\displaystyle{ 6}\)-elementowej bazy. Okazuje się jednak, że nie jest to baza, ponieważ:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{bmatrix}}\)


oraz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix} +
2\cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{bmatrix}}\)
.

Formalnie szukam bazy przestrzeni:

\(\displaystyle{ \mathbb{R}^9 \supset X = \{ (x_1,x_2,...,x_9): x_1+x_2+x_3=x_4+x_5+x_6=x_7+x_8+x_9=x_1+x_4+x_7=x_2+x_5+x_8=x_3+x_6+x_9 \}}\)

Jest to w istocie przestrzeń liniowa, zgadza się?

Wygląda to nieprzyjemnie... Ma ktoś jakiś pomysł? A może w moim rozumowaniu tkwi błąd i takie podejście nigdzie mnie nie zaprowadzi?
ODPOWIEDZ