Kąt między wektorami

[kadlevitz]

Witam,
mam zadanie, z którym nie mogę sobie poradzić i mam nadzieje, że będziecie mogli mi pomóc. Zadanie brzmi tak:
Wyznacz kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\), jeśli wiadomo, że ||\(\displaystyle{ \vec{p}}\)|| = ||\(\displaystyle{ \vec{q}}\)||, a wektory 2 \(\displaystyle{ \vec{p}}\) - 3\(\displaystyle{ \vec{q}}\) oraz 4\(\displaystyle{ \vec{p}}\) + \(\displaystyle{ \vec{q}}\) są prostopadłe.

Wielkie dzięki z góry!
Pozdrawiam kadlevitz

[janusz47]

\(\displaystyle{ \cos ( |\angle(\vec{p},\vec{q})|) = \frac{\vec{p}\cdot \vec{q}}{\parallel \vec{p}\parallel \cdot \parallel \vec{q}\parallel}}\)

Iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{p}\cdot \vec{q}}\) obliczamy z warunku prostopadłości:

\(\displaystyle{ (2\vec{p}- 3\vec{q})\cdot (4\vec{p} +\vec{q}) = 0.}\)

[kadlevitz]

Cześć,

dzięki za odpowiedź. Jak się rozwija taki iloczyn skalarny?
\(\displaystyle{ 8 \vec{p} ^{2} - 10 \vec{p}\vec{q} - 3 \vec{q} ^{2} = 0}\) ? Jak tutaj wykorzstać informacje \(\displaystyle{ || \vec{p} || = || \vec{q} ||}\) ?
Czy np. \(\displaystyle{ || \vec{p} || = \sqrt{\vec{p}^{2}} = \vec{p}}\) , więc \(\displaystyle{ \vec{p} = \vec{q}}\) ?

Pozdrawiam
kadlevitz

[janusz47]

\(\displaystyle{ 8\parallel \vec{p}\parallel ^2 - 10\vec{p}\cdot \vec{q} - 3\parallel q \parallel^2 = 0,}\)

\(\displaystyle{ 8\parallel \vec{p}\parallel ^2 - 10\vec{p}\cdot \vec{q} - 3\parallel p \parallel^2 =0,}\)

................................................

\(\displaystyle{ \vec{p}\cdot \vec{q} = ?}\)

[kadlevitz]

więc wychodzi
\(\displaystyle{ 5||\vec{p}||^{2}-10\vec{p}\vec{q}=0}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow||\vec{p}||^{2}=2\vec{p}\vec{q}}\) (1)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) z (1): \(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{\vec{p}\cdot||\vec{p}||^{2}}{2\vec{p}||\vec{p}||^{2}}= \frac{1}{2}}\)

Jak tak, to jeszcze ostatnie pytanie: Zawsze można skracać iloczyn skalarny w ten sposób? Na dole przecież nie ma \(\displaystyle{ \cdot}\)

[janusz47]

Można uprościć kwadrat normy:

\(\displaystyle{ \vec{p}\cdot \vec{q} = \frac{1}{2}\parallel \vec{p}\parallel ^2,}\)

\(\displaystyle{ \cos(|\angle (\vec{p},\vec{q})|) = \frac {\frac{1}{2}\parallel \vec{p}\parallel ^2}{\parallel \vec{p} \parallel^2} = \frac{1}{2}.}\)

\(\displaystyle{ |\angle (\vec{p},\vec{q})| = \frac{\pi}{3}.}\)