Problemy z przestrzeniami afinicznymi

[Zaratustra]

Takie zadanko z zestawu: (Staram się "uleżeć" materiał z wykładu w głowie - jakby wyglądało, że czegoś elementarnego nie rozumiem to skomentujcie i naprowadźcie)

Niech
\(\displaystyle{ L_1 = \left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) + lin\left( \left[ \begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right] \right)}\)
\(\displaystyle{ L_2 = \left(\begin{array}{c}y_1\\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) + lin\left( \left[ \begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n \end{array}\right] \right)}\)
będą prostymi w \(\displaystyle{ \mathbb{A}(\mathbb{K}^n)}\);
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}a_1&b_1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A_u = \left[\begin{array}{ccc}a_1&b_1& x_1-y_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_n & b_n & x_1-y_1 \end{array}\right]}\).
Pokaż, że proste \(\displaystyle{ L_1}\) oraz \(\displaystyle{ L_2}\) leżą na jednej płaszczyźnie wtw. gdy \(\displaystyle{ r(A_u) \leq 2}\).

Najpierw chcę pokazać, że jeżeli leżą na jedn. płaszczyźnie, to musi być \(\displaystyle{ r(A_u) \leq 2}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ L_1 || L_2}\) to \(\displaystyle{ r(A) = 1 \Leftrightarrow r(A_u) \leq 2}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ L_1}\) i \(\displaystyle{ L_2}\) leżą na jednej płaszczyźnie, powiedzmy \(\displaystyle{ P}\) ale nie jest prawdą, że\(\displaystyle{ L_1 || L_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ r(A) = 2}\).
Załóżmy, że byłoby \(\displaystyle{ r(A_u)>2}\).
Wtedy układ \(\displaystyle{ \left( \left[ \begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right], \left[\begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n \end{array}\right] , \left[\begin{array}{c}x_1 - y_1\\ \vdots \\ x_n - y_n \end{array}\right] \right)}\) jest liniowo niezależny.
\(\displaystyle{ \overrightarrow{\left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_1\\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)} = \left[\begin{array}{c}x_1 - y_1\\ \vdots \\ x_n - y_n \end{array}\right] \notin lin \left( \left[ \begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right], \left[\begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n \end{array}\right] \right)}\).
Ale \(\displaystyle{ S(P)=lin \left( \left[ \begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right], \left[\begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n \end{array}\right] \right)}\) (tak oznaczamy na zajęciach przestrz. styczną do \(\displaystyle{ P}\), nie wiem czy to standardowe oznaczenie) oraz \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), \left(\begin{array}{c}y_1\\ \vdots \\ y_n \end{array}\right) \in P}\),
(następnego wynikania nie jestem pewien)
to \(\displaystyle{ \overrightarrow{\left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_1\\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)} \in S(P)}\) - sprzeczność? Dobrze jak dotąd?

[karolex123]

Implikacja w tę stronę jest dobrze; tak samo mamy w drugą
niech \(\displaystyle{ r(A_u) \leq 2}\). Jeżeli wektory \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right], \left[\begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n \end{array}\right]}\) są liniowo zależne, to oznacza tyle, że \(\displaystyle{ lin\left( \left[ \begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right] \right)=lin\left( \left[ \begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n \end{array}\right] \right)}\). Proste \(\displaystyle{ L_1, L_2}\) są zatem wówczas równoległe i teza jest spełniona. Przypuśćmy teraz, że te dwa wektory są liniowo niezależne. Musi być wtedy, że wektor \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x_1-y_1\\ \vdots \\ x_n-y_n \end{array}\right)}\) jest zależny od wektorów \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c}a_1\\ \vdots \\ a_n \end{array}\right], \left[\begin{array}{c}b_1\\ \vdots \\ b_n \end{array}\right]}\) (bo \(\displaystyle{ r(A_u) \leq 2}\)). To zaś właśnie oznacza, że \(\displaystyle{ L_1}\) i \(\displaystyle{ L_2}\) leżą w jednej płaszczyźnie
Twoje rozumowanie wydaje mi się być ok (choć nie jestem specjalnie pewny w tej dziedzinie)

[Zaratustra]

Dzięki za komentarz. I rozpisanie w drugą stronę - w zasadzie podobnie jak sobie rozpisałem w międzyczasie, co trochę mnie uspokaja