Bazy i wymiary przestrzeni linowych

[anios0025]

Wyznaczyć bazy i wymiary przestrzeni linowych:
\(\displaystyle{ V= }\left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \RR ^{4} : x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 { \right\}}\)

W odpowiedzi jest: \(\displaystyle{ \mbox{dim}\, V=3, B _{v}= }\left\{ (-2,1,0,0), (1,0,1,0), (-1,0,0,1) { \right\}}\), ale ja nie wiem jak to zrobić. Proszę o pomoc.

[karolex123]

W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb R^{4}}\) masz podprzestrzeń liniową zadanym jednym równaniem liniowym (nietrywialnym). Spodziewamy się zatem, że w bazie będą \(\displaystyle{ 3}\) (\(\displaystyle{ 4-1}\)) wektory. Jeżeli nie chcemy dużo liczyć, możemy wziąć "z kapelusza" \(\displaystyle{ 3}\) wektory, które spełniają to równanie, a przy okazji są liniowo niezależne (w czym może pomóc odpowiednie rozmieszczenie \(\displaystyle{ 0}\) na współrzędnych tych wektorów.

[anios0025]

A jeśli chcemy dużo liczyć, to jest też jakiś sposób na znalezienie takich wektorów?

[bartek118]

Tak, rozwiązać równanie.

Jeśli mamy równanie:
\(\displaystyle{ x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}=0}\)
to przekształcić możemy je do następującego
\(\displaystyle{ x_1 = -2x_2 + x_3 - x_4.}\)
Wtedy mając dowolne \(\displaystyle{ x_2, x_3, x_4}\) dostaniemy \(\displaystyle{ x_1}\). Niech zatem \(\displaystyle{ x_2 = s, x_3 = t, x_4 = u}\). Wtedy rozwiązaniami równania są wektory
\(\displaystyle{ [-2s+t-u, s, t, u] \in \RR^4}\)
Każdy z nich możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ [-2s+t-u, s, t, u] = s [-2, 1, 0, 0] + t[1,0,1,0] + u[-1,0,0,1].}\)
Stąd odczytujemy wymiar i bazę.