Baza przestrzeni liniowej schodki

[anios0025]

Na filmiku na yt 'Baza przestrzeni liniowej [Studia]' na kanale matemax jest pokazana Metoda wyznaczania bazy przestrzeni liniowej. zadanie wygląda tak:
Wybrac bazę przestrzeni rozpiętej na tym układzie:

\(\displaystyle{ v_1= \left[\begin{array}{ccc}0\\3\\1\end{array}\right],\ v_2=\left[\begin{array}{ccc}2\\5\\1\end{array}\right],\ v_3=\left[\begin{array}{ccc}-4\\5\\3\end{array}\right],\ v_4=\left[\begin{array}{ccc}-4\\-1\\1\end{array}\right]}\) .

Autor robi z tego macierz i później rozwiązuje ja metodą Gaussa.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-4&-1&1\\2&5&1\\-4&5&3\\-4&-1&1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2&5&1\\0&3&1\\-4&5&3\\-4&-1&1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2&5&1\\0&3&1\\0&15&5\\0&9&3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2&5&1\\0&3&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]}\)

Po rozwiązaniu takim mówi, że wiersze które się nie wyzerowały stanowią bazę czyli pierwszy wiersz (wektor) i drugi baza są \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) .

ALE
Gdybym zamienił wiersze np pierwszy z trzecim i drugi z czwartym (a autor zamienił \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ 2}\) wiec wg filmiku można), to efekt wychodzi taki, że zerują mi się wiersze \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) .

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-4&-1&1\\2&5&1\\-4&5&3\\-4&-1&1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}-4&5&3\\-4&-1&1\\-4&-1&1\\2&5&1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}-4&5&3\\0&-6&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right] \rightarrow}\)

i po takich obliczeniach wychodzi ze baza jest są \(\displaystyle{ v_3}\) i \(\displaystyle{ v_4}\) .

Jak to zrobić dobrze, są jakieś zasady robienia tych 'schodków'??

[rubiccube]

Obie pary wektorów rozpinają tą samą przestrzeń, więc obie odpowiedzi są poprawne.

[SlotaWoj]

(...) wiersze które się nie wyzerowały stanowią bazę (...)

...

(...) że zerują mi się wiersze \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) .

...

i po takich obliczeniach wychodzi ze baza jest są \(\displaystyle{ v_3}\) i \(\displaystyle{ v_4}\) .

To co napisałeś się „kupy nie trzyma”. Przekształcenia też zrobiłeś źle.