Zbadać z definicji(macierz kwadratowa)

[anios0025]

Zbadać z definicji liniową niezależność podanego układu wektorów w odpowiedniej przestrzeli liniowej V:

d)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\2&3\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-3\\3&5\end{array}\right] , V=M _{2\times 2} (\RR)}\)

reszta podpunktów jest macierza \(\displaystyle{ 3\times 1}\) lub wektorem i wiem jak to zrobic ale nie wiem jak wgl interpretowac macierz kwadratową w takich zadaniach.

[Zymon]

Najlepiej jako wektor. Wprowadz sobie baze przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\RR)}\) np. taka:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ccc}0&1\\0&0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ccc}0&0\\1&0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&1\end{array}\right]\right\}}\)

Wyznacz wspolrzedne w tej bazie swoich macierzy i dalej dzialaj na wektorach.

[Janusz Tracz]

Zymon ale linowa zależność/niezależność nie jest własnością konkretnej bazy tylko przestrzeni. Niezalezienie od bazy \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\RR)}\) trzeba sprawdzić warunek:

\(\displaystyle{ \alpha \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\2&3\end{array}\right]+ \beta \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right]+\gamma\left[\begin{array}{ccc}1&-3\\3&5\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)

jeśli warunek ten będzie równoważny \(\displaystyle{ \alpha = \beta =\gamma=0}\) to wektory (tu macierze) będą liniowo niezależne. W przeciwnym razie wektory będą liniowo zależne. Sprawdzenie tego warunku sprowadza się do rozwiązania układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha + \beta +\gamma=0\\ - \alpha + \beta -3\gamma=0\\2 \alpha + \beta +3\gamma=0\\ 3 \alpha + \beta +5\gamma=0 \end{cases}}\)

Jeśli ten układ ma niezerowe rozwiązanie to macierze te są liniowo zależne.