Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
szewy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 cze 2013, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: szewy »

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć poniższą treść książki:
"It is not possible, however, to have more than one but less than infinitely many solutions for a particular \(\displaystyle{ b}\); if both \(\displaystyle{ x}\) and \(\displaystyle{ y}\) are solutions, then
\(\displaystyle{ z = \alpha x + (1 -\alpha)y}\)
is also a solution for any real \(\displaystyle{ \alpha}\)"

Mówimy tutaj o równaniu \(\displaystyle{ Ax = b}\).
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2018, o 14:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: Janusz Tracz »

Pytanie jest o to, czy układ liniowy może mieć więcej niż jedno, ale mniej niż nieskończenie wiele rozwiązań. Taka sytuacje jest niemożliwa. Można to sobie wyobrazić na przykład układ dwóch równań liniowych, które interpretujesz jako dwie proste. Proste te mogą być równoległe (\(\displaystyle{ 0}\) rozwiązań), mogą przecinać się (\(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie) albo mogą leżeń na sobie (\(\displaystyle{ \infty}\) wiele rozwiązań). Podobnie sytuacje wygląda z płaszczyznami itd.
Ostatnio zmieniony 23 kwie 2018, o 11:07 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
szewy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 cze 2013, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: szewy »

Równanie takie może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie miec żadnego to jest oczywiste.

Ale nie rozumiem co takiego oznacza i skąd się wzięło zapisane równanie: \(\displaystyle{ z = \alpha x + (1 -\alpha)y}\) .
Tutaj abstrahując czy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) moga być różnymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ Ax = b}\).
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2018, o 15:28 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: a4karo »

Załóż sobie, że \(\displaystyle{ Ax=b}\) i \(\displaystyle{ Ay=b}\).
Ile to jest \(\displaystyle{ A(\alpha x+(1-\alpha)y)}\)?
szewy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 cze 2013, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: szewy »

Próbowałem juz wcześniej w taki sposób sobie rozpisywać, ale nie mogłem niczego wywnioskować.
A lewa strona równania: \(\displaystyle{ z}\) co oznacza? Macierz zerową?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: a4karo »

Wiesz to to znaczy, że \(\displaystyle{ A}\) jest operatorem liniowym?
szewy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 cze 2013, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: szewy »

Nie, nigdy nie spotkałem się aby macierz była operatorem.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: a4karo »

Dobra: masz zatem układ równań liniowych
\(\displaystyle{ a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\
\vdots\\
a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=b_m}\)

co zapisujesz \(\displaystyle{ Ax=b}\). Tutaj \(\displaystyle{ x=[x_1,\dots,x_n]^T}\)

Weż drugie rozwiązanie
\(\displaystyle{ a_{11}y_1+\dots+a_{1n}y_n=b_1\\
\vdots\\
a_{m1}y_1+\dots+a_{mn}y_n=b_m}\)

co zapisujesz \(\displaystyle{ Ax=b}\)
Czyli \(\displaystyle{ Ay=b}\), gdzie \(\displaystyle{ y=[y_1,\dots,y_n]^T}\)

Spróbuj pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha\in \RR}\) macierz \(\displaystyle{ z=\alpha x+(1-\alpha) y}\) jest rozwiązaniem
szewy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 cze 2013, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: szewy »

Spróbuj pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha\in \RR}\) macierz \(\displaystyle{ z=\alpha x+(1-\alpha) y}\) jest rozwiązaniem
Przecież ja właśnie proszę o poradę jak to zrobić, na tym polega mój post...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: a4karo »

To trzeba napisać na kawałku papieru. Wtedy to zobaczysz
szewy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 cze 2013, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: szewy »

Już to sobie rozpisywałem i nic nie zauwazyłem, dlatego proszę o poradę...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ax = b. Więcej niż jedno rozwiązanie, mniej jak nieskoń.

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ a_{11}(\alpha x_1+(1-\alpha)y_1)+\dots+a_{1n}(\alpha x_n+(1-\alpha)y_n)=?\\
\vdots\\
a_{m1}(\alpha x_1+(1-\alpha)y_1)+\dots+a_{mn}(\alpha x_n+(1-\alpha)y_n)=?}\)
ODPOWIEDZ