Przestrzeń Hilberta

[relic]

Witam,

w \(\displaystyle{ l_2}\) ciągów rzeczywistych sumowalnych skończenie z kwadratem i iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ <,>= \sum_{ \infty }^{i=0} a_i\cdot b_i}\) mamy podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\) ciągów prawie wszędzie równych \(\displaystyle{ 0}\).

Czy w podprzestrzeni prostopadłej do \(\displaystyle{ W}\) będzie cokolwiek poza zerem?

[Spektralny]

Tak, na przykład ciąg \(\displaystyle{ (1,0,0,0, \ldots)}\) albo \(\displaystyle{ (0,1,0,0,\ldots)}\), etc. Ta podprzestrzeń jest gęsta w \(\displaystyle{ \ell_2}\).

[Premislav]

To ja chyba nie rozumiem, co to jest „podprzestrzeń prostopadła do \(\displaystyle{ W}\)" (mnie się wydawało po prostu, że jest to dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ W}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_2}\)) lub nie rozumiem, co to są „ciągi prawie wszędzie równe \(\displaystyle{ 0}\)" (myślałem, że to oznacza ciągi, które mają tylko skończenie wiele niezerowych wyrazów).
Gdyby moje rozumienie tych obiektów było poprawne, to przecież ciąg
\(\displaystyle{ (1,0,0,0, \ldots)}\), jako należący do dopełnienia ortogonalnego \(\displaystyle{ W}\), powinien cechować się tym, że jego iloczyn skalarny z dowolnym elementem \(\displaystyle{ W}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\), lecz ciąg \(\displaystyle{ (1,0,0,0, \ldots)}\) jest również elementem \(\displaystyle{ W}\) i jego iloczyn skalarny z samym sobą wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Co jest nie tak w moim rozumieniu tych bytów?

[Spektralny]

To ja chyba nie rozumiem, co to jest „podprzestrzeń prostopadła do \(\displaystyle{ W}\)"

Po co ten cięty ton? Jasne jest, że nie zauważyłem słowa prostopadła, skoro sam napisałem, że ta popdrzestrzeń jest gęsta. Z gęstości już wynika, że \(\displaystyle{ W^\perp = \{0\}}\).

[Premislav]

Jaki znów cięty ton? Nie miałem na myśli żadnej ironii.