\(\displaystyle{ M ^{A} _{A}(F^{-1} \circ F)=M ^{A} _{B}(F ^{-1} ) \cdot M ^{B} _{A}(F)}\)
Cześć,
Mam w dowodzie z wykładu zapisaną taką równość nie wiem dlaczego ona zachodzi (nie wątpie, że pewnie jest prawdziwa). F to izomorfizm \(\displaystyle{ F:V \rightarrow W}\) gdzie \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) to przestrzenie równego wymiaru, a \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to odpowiednio bazy \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\). Wyjaśniłby ktoś dlaczego to zachodzi?
Macierze przekształcenia liniowego własność
-
Zymon
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Macierze przekształcenia liniowego własność
Z faktu, iż mnożenie macierzy przekształceń to tak naprawdę ich składanie. Stąd też wynikają bazy po lewej stronie.
EDIT:
W tym wypadku ważne jest też, że \(\displaystyle{ F^{-1} \circ F = F \circ F^{-1}}\)
EDIT:
W tym wypadku ważne jest też, że \(\displaystyle{ F^{-1} \circ F = F \circ F^{-1}}\)
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Macierze przekształcenia liniowego własność
Ogólnie zachodzi fakt, że jeśli \(\displaystyle{ U, V, W}\) są przestrzeniami liniowymi (nad pewnym ciałem \(\displaystyle{ K}\)), \(\displaystyle{ B \subseteq U, C \subseteq V, D \subseteq W}\) ich bazami, a \(\displaystyle{ f : U \to V}\) i \(\displaystyle{ g : V \to W}\) są liniowe, to
\(\displaystyle{ M^B_D(g \circ f) = M^C_D(g) \cdot M^B_C(f).}\)
Przy użyciu odpowiedniej notacji dowód można zapisać dość zgrabnie, ale można też bezpośrednio.
Dla macierzy \(\displaystyle{ M}\) przez \(\displaystyle{ M_i}\) rozumiemy jej \(\displaystyle{ i}\)-ty wiersz, a przez \(\displaystyle{ M^j}\) jej \(\displaystyle{ j}\)-tą kolumnę. Niech \(\displaystyle{ B = (b^1, \ldots, b^n), C = (c^1, \ldots, c^m), D = (d^1, \ldots, d^s)}\) i niech
\(\displaystyle{ M^B_C(f) = \begin{pmatrix} \beta^1_1 & \cdots & \beta^n_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta^1_m & \cdots & \beta^n_m \end{pmatrix}.}\)
Wtedy z definicji dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\)
\(\displaystyle{ \big[ f(b_k) \big]_C = \begin{pmatrix} \beta_1^k \\ \vdots \\ \beta_m^k \end{pmatrix},}\)
czyli
\(\displaystyle{ f(b^k) = \sum_{j=1}^m c^j \beta_j^k.}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
M^B_D(g \circ f)^k &= \big[ (g \circ f)(b^k) \big]_D = \left[ g \left( \sum_{j=1}^m c^j \beta_j^k \right) \right]_D = \sum_{j=1}^m [g(c^j)]_D \cdot \beta_j^k \\
& = \sum_{j=1}^m M^C_D(g)^j M^B_C(f)_j^k = \big( M^C_D(g) \cdot M^B_C(f) \big)^k,
\end{align*} $}\)
co kończy dowód.
\(\displaystyle{ M^B_D(g \circ f) = M^C_D(g) \cdot M^B_C(f).}\)
Przy użyciu odpowiedniej notacji dowód można zapisać dość zgrabnie, ale można też bezpośrednio.
Dla macierzy \(\displaystyle{ M}\) przez \(\displaystyle{ M_i}\) rozumiemy jej \(\displaystyle{ i}\)-ty wiersz, a przez \(\displaystyle{ M^j}\) jej \(\displaystyle{ j}\)-tą kolumnę. Niech \(\displaystyle{ B = (b^1, \ldots, b^n), C = (c^1, \ldots, c^m), D = (d^1, \ldots, d^s)}\) i niech
\(\displaystyle{ M^B_C(f) = \begin{pmatrix} \beta^1_1 & \cdots & \beta^n_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta^1_m & \cdots & \beta^n_m \end{pmatrix}.}\)
Wtedy z definicji dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\)
\(\displaystyle{ \big[ f(b_k) \big]_C = \begin{pmatrix} \beta_1^k \\ \vdots \\ \beta_m^k \end{pmatrix},}\)
czyli
\(\displaystyle{ f(b^k) = \sum_{j=1}^m c^j \beta_j^k.}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
M^B_D(g \circ f)^k &= \big[ (g \circ f)(b^k) \big]_D = \left[ g \left( \sum_{j=1}^m c^j \beta_j^k \right) \right]_D = \sum_{j=1}^m [g(c^j)]_D \cdot \beta_j^k \\
& = \sum_{j=1}^m M^C_D(g)^j M^B_C(f)_j^k = \big( M^C_D(g) \cdot M^B_C(f) \big)^k,
\end{align*} $}\)
co kończy dowód.