Baza ortogonalna przestrzeni

[Jadranko]

Cześć!

Mam zagwozdkę jak się zabrać za takie zadanie:

Dane jest przekształcenie \(\displaystyle{ T: U_{2\times 2} \rightarrow \RR _{2}[x]}\), gdzie \(\displaystyle{ U_{2\times 2} = \{A \in \RR _{2\times 2}, a_{21} = 0\}}\). Znajdź \(\displaystyle{ T ^{-1}(p(x))}\) dla \(\displaystyle{ p(x)}\) danego w postaci wektora współrzędnych \(\displaystyle{ [p(x)] _{B}}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest bazą ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \RR _{2} [x]}\) zawierającą podane wektory \(\displaystyle{ v _{1}, v_{2}.}\)

\(\displaystyle{ [p(x)] _{B} = (1, -3, 4)}\) (wektor pionowy)
\(\displaystyle{ v _{1} = x \\
v _{2} = x ^{2} - 1}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Dasio11]

Brakuje definicji \(\displaystyle{ T}\) oraz iloczynu skalarnego na \(\displaystyle{ \RR_2[x].}\)

[Jadranko]

\(\displaystyle{ T (\left[\begin{array}{ccc}a&b\\0&c\end{array}\right])=(x-1)^{2}(2c-b)+(2x^{2}-8)(c-a)+x(5c-b)-5a+3b}\)

Wcześniej trzeba znaleźć wzór na przekształcenie odwrotne, czyli \(\displaystyle{ T^{-1}(ax^{2}+bx+c)=...}\)

[Dasio11]

A iloczyn skalarny na \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) ?

[Jadranko]

Niestety nie został podany, a jest on niezbędny do rozwiązania tego zadania?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ B}\) jest bazą ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \RR _{2} [x]}\) zawierającą podane wektory \(\displaystyle{ v _{1}, v_{2}.}\)

\(\displaystyle{ v _{1} = x \\
v _{2} = x ^{2} - 1}\)

Właściwie to trudno powiedzieć. Nie został podany trzeci wektor bazy \(\displaystyle{ B,}\) bez którego znajomości zadania nie można rozwiązać, więc można przypuszczać, że należy ten wektor wyliczyć z dwóch pierwszych, wiedząc że baza jest ortogonalna. Jeśli nie znamy iloczynu skalarnego, względem którego baza jest ortogonalna, to nie ma na to szans, ale nawet jeśli go mamy, to trzeci wektor i tak można wyliczyć tylko z dokładnością do mnożenia przez niezerowy skalar.

[Jadranko]

A jeżeli iloczynem skalarnym byłoby coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{-1}p(x)q(x)dx}\)