Odwzorowanie liniowe

[Jan Kraszewski]

Dalej wyciągasz wniosek: kiedy homomorfizm jest monomorfizmem?

JK

[monikap7]

A wymiar? Baza?

[Jan Kraszewski]

A wymiar? Baza?

Jeśli chodzi o jądro (bo tylko nim się zajęłaś), to wiesz, że składa się z

wielomianów postaci \(\displaystyle{ w(x) = cx - 2c}\).

skąd od razu można odczytać bazę jądra (a więc i jego wymiar).

JK

[monikap7]

Dalej wyciągasz wniosek: kiedy homomorfizm jest monomorfizmem?

JK

homomorfizm jest monomorfizmem, gdy jest iniekcją, tak?-- 6 kwietnia 2018, 08:15 --

A wymiar? Baza?

Jeśli chodzi o jądro (bo tylko nim się zajęłaś), to wiesz, że składa się z

wielomianów postaci \(\displaystyle{ w(x) = cx - 2c}\).

skąd od razu można odczytać bazę jądra (a więc i jego wymiar).

JK

Zatem mogę powiedziec, że bazą są wielomiany tej postaci? Baza to to samo co wymiar?

[Jan Kraszewski]

homomorfizm jest monomorfizmem, gdy jest iniekcją, tak?

Tak, ale nie o to mi chodziło. Chodziło o związek monomorfizmu z jądrem.

Zatem mogę powiedziec, że bazą są wielomiany tej postaci? Baza to to samo co wymiar?

Oj, widać braki w podstawowych definicjach i to nie ma nic wspólnego z tym konkretnym zadaniem. Bez znajomości definicji nic nie zrobisz. Sprawdź zatem (i zrozum) definicje bazy i wymiaru przestrzeni liniowej.

JK

[monikap7]

homomorfizm jest monomorfizmem, gdy jest iniekcją, tak?

Chodzi o to, że przekształcenie liniowe nazywamy monomorfizmem, gdy \(\displaystyle{ ker T=\left\{ 0\right\}}\)?

Co do definicji to znalazłam takie:
Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń.

Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy liczbę elementów jej bazy, o ile przestrzeń jest wymiaru skończonego.

Ale nie wiem jak mam to zapisac w moim zadaniu

[bartek118]

homomorfizm jest monomorfizmem, gdy jest iniekcją, tak?

Tak, ale nie o to mi chodziło. Chodziło o związek monomorfizmu z jądrem.

Chodzi o to, że przekształcenie liniowenazywamy monomorfizmem, gdy \(\displaystyle{ ker T=\left\{ 0\right\}}\)?

Oj, widać braki w podstawowych definicjach i to nie ma nic wspólnego z tym konkretnym zadaniem. Bez znajomości definicji nic nie zrobisz. Sprawdź zatem (i zrozum) definicje bazy i wymiaru przestrzeni liniowej.

Co do definicji to znalazłam takie:
Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń.

Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy liczbę elementów jej bazy, o ile przestrzeń jest wymiaru skończonego.

Ale nie wiem jak mam to zapisac w moim zadaniu:(

Podpowiem, że szukamy wymiaru i bazy takiej przestrzeni:
\(\displaystyle{ V = \{ w(x) = cx - 2c \ : \ c \in \mathbb{R} \}}\)

Czy potrafisz zapisać dowolny wielomian z tej przestrzeni jako kombinację liniową pewnych jej elementów?

Co do jądra - o taką charakteryzację monomorfizmów chodziło. Zastosuj ją tu.

[monikap7]

Podpowiem, że szukamy wymiaru i bazy takiej przestrzeni:
\(\displaystyle{ V = \{ w(x) = cx - 2c \ : \ c \in \mathbb{R} \}}\)

Czy potrafisz zapisać dowolny wielomian z tej przestrzeni jako kombinację liniową pewnych jej elementów?

Zatem wystarczy zapisac dowolny wielomian? np. \(\displaystyle{ w(x)=2x-4}\), ale nie bardzo rozumiem jak mam to zapisac za pomocą kombinacji pewnych jej elementów

[Jan Kraszewski]

Zatem wystarczy zapisac dowolny wielomian? np. \(\displaystyle{ w(x)=2x-4}\),

Chyba nie zrozumiałaś znaczenia słowa "dowolny" w poście powyżej. Wskazany przez Ciebie wielomian jest dobry (choć pewnie większość wzięłaby \(\displaystyle{ x-2}\)), pytanie tylko czy wiesz, do czego dobry.

ale nie bardzo rozumiem jak mam to zapisac za pomocą kombinacji pewnych jej elementów

A ja nie bardzo rozumiem powyższe zdanie: co oznaczają "to" i "jej"?

Jądro przekształcenia, które badasz, jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR[x]_3}\), składa się więc z wielomianów. Szukasz zatem jak najmniejszej liczby wielomianów, które wygenerują podprzestrzeń \(\displaystyle{ V = \{cx - 2c \ : \ c \in \mathbb{R} \}}\). Wygenerują, czyli każdy wielomian z \(\displaystyle{ V}\) będzie kombinacją liniową tych poszukiwanych wielomianów (kombinacja liniowa wielomianów powstaje tak, że każdy wielomian mnożysz przez liczbę rzeczywistą i dodajesz je do siebie).

Wskazówka: Liczba mnoga w akapicie powyżej może być myląca.

JK

[monikap7]

niby rozumiem, ale zupełnie nie wiem jak to ładnie symbolicznie zapisac:(

[bartek118]

niby rozumiem, ale zupełnie nie wiem jak to ładnie symbolicznie zapisac:(

W takim razie - jaki Twoim zdaniem jest wymiar i z jakich wielomianów składa się baza?

[monikap7]

Baza składasie z wielomianów postaci: \(\displaystyle{ V = \{cx - 2c \ : \ c \in \mathbb{R} \}}\)
A wymiar - to ich ilość, czyli nieskończenie wiele....??

[Jan Kraszewski]

Oj, niedobrze, niedobrze...

To \(\displaystyle{ V = \{cx - 2c \ : \ c \in \mathbb{R} \}}\) jest cała (pod)przestrzeń liniowa, a Ty masz wskazać bazę tej podprzestrzeni.

Może potrenuj pojęcie bazy na prostszych przykładach, zacznij np. od \(\displaystyle{ \RR^2}\), bo na razie zupełnie nie rozumiesz tej definicji.

JK

[monikap7]

A pomoże mi ktoś z tym zadaniem? Wykładowca będzie pytał... A ja obiecuję, że poćwiczyć! Bardzo proszę

[a4karo]

Przecież cały czas Ci pomagamy. Ale podstawy musisz zrobić i zrozumieć sama.
Nawet ja Ci zrobimy to zadanie do końca, to i tak bez podstaw nie zrozumiesz co się dzieje. A wykładowca od razu się zorientuje, że to nie Twoje rozwiązanie.