Opis parametryczny przestrzeni afinicznej

[TorrhenMathMeth]

Znaleźć opis parametryczny podprzestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \mathbb{H} \subset \mathbb{R}^{4}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{H} = af((1,-1,-2,0),(3,3,0,1),(0,1,1,2))}\). Przedstawić \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\)
jako zbiór rozwiązań układu równań.

[janusz47]

\(\displaystyle{ H:}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4} \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4} \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}1 \\-1\\ -2\\ 0 \end{matrix}\right] t_{1} + \left[\begin{matrix}3 \\3\\ 0\\ 1 \end{matrix}\right] t_{2}+\left[\begin{matrix}0 \\1\\ 1\\ 2 \end{matrix}\right] t_{3}}\) (1)

Jest to równanie parametryczne hiperpłaszczyzny czterowymiarowej.

Proszę rozpisać równanie (1) w postaci układu równań, znaleźć zbiór jego rozwiązań - równanie zwyczajne (ogólne) hiperpłaszczyzny \(\displaystyle{ H \subset \RR^4.}\)

[karolex123]

Wektory \(\displaystyle{ \left( 2,4,2,1\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( -1,2,3,2\right)}\) rozpinają przestrzeń liniową stowarzyszoną z daną podprzestrzenią afiniczną \(\displaystyle{ \mathbb H}\). Mamy więc:
\(\displaystyle{ \mathbb H=\left\{ \left[ 1,-1,-2,0\right]+t _{1}\left( 2,4,2,1\right)+t _{2} \left( -1,2,3,2\right):t_{1},t_{2} \in \mathbb R \right\}}\). Znajujiemy układ równań opisujący przestrzeń stowarzyszoną; jest nim np. układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x_{1}-5x_{2}+8x_{4}=0\\x_{1}-5x_{3}+8x_{4}=0\end{cases}}\)
Aby wyznaczyć układ opisujący \(\displaystyle{ \mathhbb H}\) wystarczy znaleźć przesunięcie, tj. liczby \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}}\) takie, że punkty rozpinające \(\displaystyle{ \mathbb H}\) spełniają układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x_{1}-5x_{2}+8x_{4}=b_{1}\\x_{1}-5x_{3}+8x_{4}=b_{2}\end{cases}}\)

Wydaje mi się, że to nie jest hiperpłaszczyzna, bo podprzestrzeń afiniczną rozpinają punkty, a nie wektory i przy tym założeniu rozwiązane jest powyżej to zadanie