Znajdź odwzorowanie liniowe

[CzarQ]

Znajdź odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ \RR^2 \rightarrow \RR^3}\)
1)

\(\displaystyle{ f(2,1)=(3,1,-1) \\
f(-1,0)=(1,-1,0)}\)

2)
\(\displaystyle{ \ker f=\mbox{lin}\,\{(1,1,0),(1,-1,0)\}, \mbox{Im}\,f=\mbox{lin}\,\{(2,1,1)\}}\)

Móglby ktos krok po kroku wytlumaczyc?:

[janusz47]

1)

1.1
Zauważmy, że wektory \(\displaystyle{ [2,1], \ \ [-1, 0]}\) tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2.}\)

1.2
Przedstawiamy dowolny wektor \(\displaystyle{ [x_{1}, x_{2}] \in \RR^2}\) jako kombinację liniową wektorów tej bazy.

1.3
Działamy przekształceniem \(\displaystyle{ f}\) na tą kombinację, korzystając z jego liniowości i podanych w treści zadania wektorów - obrazów.

2)

Korzystamy z definicji jądra i obrazu przekształcenia liniowego oraz kombinacji liniowej wektorów.

[bartek118]

2. można jeszcze inaczej -- można znaleźć macierz takiego odwzorowania. Wiedząc, że obraz jest rozpięty na kolumnach macierzy, to jedną kolumną jest kolumna postaci \(\displaystyle{ (2\alpha,\alpha,\alpha)^T}\), a drugą \(\displaystyle{ (2\beta ,\beta ,\beta)^T}\).

[Dasio11]

Wiedząc, że obraz jest rozpięty na kolumnach macierzy, to jedną kolumną jest kolumna postaci \(\displaystyle{ (2\alpha,\alpha,\alpha)^T}\), a drugą \(\displaystyle{ (2\beta ,\beta ,\beta)^T}\).

Dlaczego?

[bartek118]

Wiedząc, że obraz jest rozpięty na kolumnach macierzy, to jedną kolumną jest kolumna postaci \(\displaystyle{ (2\alpha,\alpha,\alpha)^T}\), a drugą \(\displaystyle{ (2\beta ,\beta ,\beta)^T}\).

Dlaczego?

Przecież
\(\displaystyle{ \mbox{Im}\,f=\mbox{lin}\,\{(2,1,1)\},}\)
więc wszystkie wektory w obrazie to \(\displaystyle{ (2t,t,t)}\).