Macierz przejscia

[CzarQ]

W \(\displaystyle{ \RR^3}\) dana jest macierz przejscia \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-3&0\\3&1&1\\-1&2&0\end{array}\right]}\) z bazy \(\displaystyle{ B_1}\) do \(\displaystyle{ B_2}\).
a) Znajdź bazę \(\displaystyle{ B_1}\), jeżeli dana jest baza \(\displaystyle{ B_2=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,-1,1)\}}\).
b) Znajdź baze \(\displaystyle{ B_2}\), jezeli dana jest baza \(\displaystyle{ B_1=\{(1,0,0),(5,-1,2),(3,3,-7)\}}\).

[karolex123]

Niech \(\displaystyle{ \left\{ \alpha , \beta , \gamma\right\}}\) będzie bazą \(\displaystyle{ B _{1}}\) w kolejności odpowiadającej danej macierzy. Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza daną macierz przejścia. Wiemy, że
\(\displaystyle{ \alpha= A\left( 1,0,0\right) _{B _{1} } =\left( 2,3,-1\right) _{B _{2} } = 2\left( 1,0,0\right)+3\left( 0,1,0\right) -\left( 0,-1,1\right)}\), przy czym przez \(\displaystyle{ \left( 1,0,0\right) _{B _{1} }}\) rozumiem wektor zapisany w bazie \(\displaystyle{ B _{1}}\). Na chłopski rozum, kolejne kolumny macierzy zmiany bazy \(\displaystyle{ B _{1}}\) w bazę \(\displaystyle{ B _{2}}\) przedstawiają kolejne współrzędne wektora z \(\displaystyle{ B _{1}}\) w bazie \(\displaystyle{ B _{2}}\). Analogicznie wyznaczasz pozostałe wektory.
Co do podpunktu b robisz podobnie, zastanów się jak sprytnie można ominąć zbędne rachunki.