Udowodnienie, że wektory tworzą bazę.

[Entman]

Mam 4 wektory : \(\displaystyle{ (1,0,1,0), (1,1,0,0), (0,1,1,1), (0,0,1,1).}\) Muszę udowodnić że są bazą. WIem, że trzeba udowodnić 2 rzeczy:
1. Że te wektory są liniowo niezależne - wpisać je do macierzy (ja wpisuje te wektory jako wiersze, nie wiem czy to ma jakiekolwiek znaczenie?) i policzyć wyznacznik, jeżeli jest różny od \(\displaystyle{ 0}\) to wtedy rząd wynosi \(\displaystyle{ 4}\) i ten warunek spełniony, to jest łatwe.
2. Pokazać, że te wektory są generujące. I tutaj właśnie nie jestem pewien co dokładnie należy zrobić. W tym temacie 11674.htm napisane jest, że jedne co trzeba zrobić to wpisać te wektory kolumnami do macierzy, i obliczyć wyznacznik takiej macierzy, i jeżeli jest różny od \(\displaystyle{ 0}\) to wtedy są generujące. Moje pytanie - dlaczego?Na jakiej zasadzie ta metoda "działa"? Z góry dzięki.

[Jan Kraszewski]

Trzeba udowodnić jedną rzecz - że są liniowo niezależne. Jeśli tak jest, to generują podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^4}\) (bo zakładam, że z tej przestrzeni bierzesz wektory) wymiaru \(\displaystyle{ 4}\). A jedyną podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\) wymiaru \(\displaystyle{ 4}\) jest całe \(\displaystyle{ \RR^4}\).

To, czy wpiszesz wektory w wierszach, czy w kolumnach nie ma żadnego znaczenia przy sprawdzaniu rzędu (więc to, co proponujesz w 1. i 2. to tak naprawdę dwa razy to samo). Natomiast z pewnych względów przyjęło się, że wektory te wpisujemy w kolumnach, stąd wskazówka we wspomnianym temacie.

JK

[a4karo]

Liczenie wyznacznika zawsze załatwi sprawę. W tym prostym przypadku wystarczy jednak ociupinka wyobraźni.
Jeżeli oznaczymy te wektory przez \(\displaystyle{ f_1,_2,f_3,f_4}\) odpowiednio, zaś bazę standardową przez \(\displaystyle{ e_1,...,e_4}\), to
\(\displaystyle{ e_2=f_3-f_4}\),
\(\displaystyle{ e_1=f_2-e_2}\)
\(\displaystyle{ e_3=f_1-e_1}\) i
\(\displaystyle{ e_4=f_4-e_3}\)