Równanie z macierzą i wektorami
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Równanie z macierzą i wektorami
Witam,
zależy mi na rozwiązaniu poniższego równania, w którym występuje zarówno stała, macierz jak i 2 wektory:
\(\displaystyle{ \frac{4800}{125}\left[\begin{array}{ccc}24&0&30\\0&200&50\\30&50&100\end{array}\right] \ \left\{\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right\} \ = \ \left\{\begin{array}{c}-200&0&0\end{array}\right\}}\)
Uznałem, że należy to rozwiązać w ten sposób (mnożąc macierz 3x3 przez stałą a następnie rozpisując układ równań):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}921,6&0&1152\\0&7680&1920\\1152&1920&3840\end{array}\right]\ \left\{\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right\} \ = \ \left\{\begin{array}{c}-200&0&0\end{array}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 921,6 \cdot u_{2}+0 \cdot \theta_{2}+1152 \cdot \theta_{3}=-200\\0 \cdot u_{2}+7680 \cdot \theta_{2}+1920 \cdot \theta_{3}=0\\1152 \cdot u_{2}+1920 \cdot \theta_{2}+3840 \cdot \theta_{3}=0 \end{array}}\)
Wolfram Alpha podaje wynik:
\(\displaystyle{ u_{2}=-\frac{875}{2304}\approx-0,37977}\)
\(\displaystyle{ \theta_{2}=-\frac{25}{768}\approx-0,032552}\)
\(\displaystyle{ \theta_{3}=\frac{25}{192}\approx0,13021}\)
Czy to jest poprawne rozwiązanie ?
zależy mi na rozwiązaniu poniższego równania, w którym występuje zarówno stała, macierz jak i 2 wektory:
\(\displaystyle{ \frac{4800}{125}\left[\begin{array}{ccc}24&0&30\\0&200&50\\30&50&100\end{array}\right] \ \left\{\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right\} \ = \ \left\{\begin{array}{c}-200&0&0\end{array}\right\}}\)
Uznałem, że należy to rozwiązać w ten sposób (mnożąc macierz 3x3 przez stałą a następnie rozpisując układ równań):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}921,6&0&1152\\0&7680&1920\\1152&1920&3840\end{array}\right]\ \left\{\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right\} \ = \ \left\{\begin{array}{c}-200&0&0\end{array}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 921,6 \cdot u_{2}+0 \cdot \theta_{2}+1152 \cdot \theta_{3}=-200\\0 \cdot u_{2}+7680 \cdot \theta_{2}+1920 \cdot \theta_{3}=0\\1152 \cdot u_{2}+1920 \cdot \theta_{2}+3840 \cdot \theta_{3}=0 \end{array}}\)
Wolfram Alpha podaje wynik:
\(\displaystyle{ u_{2}=-\frac{875}{2304}\approx-0,37977}\)
\(\displaystyle{ \theta_{2}=-\frac{25}{768}\approx-0,032552}\)
\(\displaystyle{ \theta_{3}=\frac{25}{192}\approx0,13021}\)
Czy to jest poprawne rozwiązanie ?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Równanie z macierzą i wektorami
Tak, to dobry wynik.
Zamiast mnożenia macierzy współczynników przez liczbę można było podzielić (pomnożyć przez odwrotność) macierz wyrazów wolnych.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}24&0&30\\0&200&50\\30&50&100\end{array}\right] \ \left[\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right] \ = \ \left[\begin{array}{c} \frac{-125}{24} &0&0\end{array}\right]}\)
Co także daje wynik:
\(\displaystyle{ u_{2}=\frac{-875}{2304}}\)
\(\displaystyle{ \theta_{2}=\frac{-25}{768}}\)
\(\displaystyle{ \theta_{3}=\frac{25}{192}}\)
Zamiast mnożenia macierzy współczynników przez liczbę można było podzielić (pomnożyć przez odwrotność) macierz wyrazów wolnych.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}24&0&30\\0&200&50\\30&50&100\end{array}\right] \ \left[\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right] \ = \ \left[\begin{array}{c} \frac{-125}{24} &0&0\end{array}\right]}\)
Co także daje wynik:
\(\displaystyle{ u_{2}=\frac{-875}{2304}}\)
\(\displaystyle{ \theta_{2}=\frac{-25}{768}}\)
\(\displaystyle{ \theta_{3}=\frac{25}{192}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Re: Równanie z macierzą i wektorami
Dzięki za pomoc
Jeszcze jeden sposób - po przemnożeniu przez stałą można też skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ Ax=b}\)
\(\displaystyle{ x=A^{-1}b}\)
Wychodzi to samo w Wolframie:
Jeszcze jeden sposób - po przemnożeniu przez stałą można też skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ Ax=b}\)
\(\displaystyle{ x=A^{-1}b}\)
Wychodzi to samo w Wolframie:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28inv%7B%7B921.6,0,1152%7D,%7B0,7680,1920%7D,%7B1152,1920,3840%7D%7D%29*%7B%7B-200%7D,%7B0%7D,%7B0%7D%7D
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Równanie z macierzą i wektorami
Nie zawsze tak możesz robić. Może się zdarzyć sytuacja, że macierz \(\displaystyle{ A}\) będzie nieodwracalna.
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Równanie z macierzą i wektorami
Zgadza się. Chociaż chyba w tym zastosowaniu (MES, a przynajmniej wersja stosowana w mechanice konstrukcji) macierz, zwana macierzą sztywności, jest zawsze odwracalna. Ale głowy nie dam.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 17 paź 2016, o 21:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
Re: Równanie z macierzą i wektorami
O, MES to mój temat. Wiele lat temu kończyłem budownictwo i w pracy zawodowej i naukowej wykorzystuję MES np. w Abaqus, Robocie, RM-Win i innych programach do liczenia konstrukcji prętowych, powierzchniowych i objętościowych.
No to z macierzą sztywności jest tak:
- w przypadku zwykłej statyki (liniowej lub nieliniowej) macierz ta musi być nieosobliwa (czyli wyznacznik różny od zera),
- w przypadku groźby utraty stateczności (wyboczenie) lub zajścia zjawiska rezonansu mechanicznego w zagadnieniu dynamicznym całkowita macierz sztywności konstrukcji (czyli macierz sztywności uwzględniająca również wpływ sił osiowych oraz sił bezwładności) może być osobliwa. Dzieje się tak w momencie utraty stateczności przez wyboczenie (bifurkacja, dywergencja) lub przy zrównaniu się częstości siły wymuszającej z częstością drgań własnych konstrukcji. Wtedy wyznacznik tej macierzy wynosi zero. Ta sytuacja służy też wyznaczaniu wartości własnych macierzy. Z nich możemy np. obliczyć siłę krytyczną lub częstość drgań własnych.
To, co widzę w przykładzie powyżej to klasyczna statyka. Macierz sztywności pomnożona przez globalny wektor przemieszczeń daje w wyniku wektor sił węzłowych. To tu musi wyjść konkretny wynik.
No to z macierzą sztywności jest tak:
- w przypadku zwykłej statyki (liniowej lub nieliniowej) macierz ta musi być nieosobliwa (czyli wyznacznik różny od zera),
- w przypadku groźby utraty stateczności (wyboczenie) lub zajścia zjawiska rezonansu mechanicznego w zagadnieniu dynamicznym całkowita macierz sztywności konstrukcji (czyli macierz sztywności uwzględniająca również wpływ sił osiowych oraz sił bezwładności) może być osobliwa. Dzieje się tak w momencie utraty stateczności przez wyboczenie (bifurkacja, dywergencja) lub przy zrównaniu się częstości siły wymuszającej z częstością drgań własnych konstrukcji. Wtedy wyznacznik tej macierzy wynosi zero. Ta sytuacja służy też wyznaczaniu wartości własnych macierzy. Z nich możemy np. obliczyć siłę krytyczną lub częstość drgań własnych.
To, co widzę w przykładzie powyżej to klasyczna statyka. Macierz sztywności pomnożona przez globalny wektor przemieszczeń daje w wyniku wektor sił węzłowych. To tu musi wyjść konkretny wynik.
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Równanie z macierzą i wektorami
Zgadza się, to prosta statyka (a konkretnie belka).
Znasz może jakieś fajne źródło albo sam dysponujesz przykładami ręcznych obliczeń MES dla belki, pręta, ramy, kratownicy. Dopiero zaczynam zabawę z MESem poza programami CAE i szukam czegoś dokładnie opisanego dla początkujących. Jak najwięcej prostyh przykładów obliczeń takich konstrukcji.
Znasz może jakieś fajne źródło albo sam dysponujesz przykładami ręcznych obliczeń MES dla belki, pręta, ramy, kratownicy. Dopiero zaczynam zabawę z MESem poza programami CAE i szukam czegoś dokładnie opisanego dla początkujących. Jak najwięcej prostyh przykładów obliczeń takich konstrukcji.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 17 paź 2016, o 21:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
Re: Równanie z macierzą i wektorami
Nie chcę być uważany za złośliwego, ale MES to nie jest metoda do obliczeń ręcznych. MES stworzono dla maszyn liczących. Ręcznie można sobie policzyć co najwyżej ustroje 2, 3 góra 4-prętowe. Większa liczba stopni swobody powoduje, że układ równań robi się nieznośnie wielki i liczenie ręczne mija się z celem. Pomijam już, że przy dwóch i więcej elementach potrzeba wykonywać agregację macierzy sztywności, a dopiero potem rozwiązywać układ MES.
Sam jestem wykładowcą na uczelni i MES-u na ćwiczeniach uczę prosto: siadajcie studenci do komputerów, odpalamy oprogramowanie MES i uczymy się definiować konstrukcję - pręty, węzły, obciążenia, kombinacje obciążeń, podpory, imperfekcje itd. Uczymy się tego, co przyda się im w biurze projektowym. Podstawy teoretyczne z prostymi przykładami można pokazać na wykładzie. Podręczników z przykładami ręcznymi do MES nie jest za wiele, bo autorzy nie chcą pokazywać ręcznych obliczeń do metody, którą komputer jest w stanie analizować ustrój o np. kilku milionach stopni swobody. To tak jakby ktoś prezentował możliwości ferrari w ruchu ulicznym po zakorkowanym polskim mieście.
Sam jestem wykładowcą na uczelni i MES-u na ćwiczeniach uczę prosto: siadajcie studenci do komputerów, odpalamy oprogramowanie MES i uczymy się definiować konstrukcję - pręty, węzły, obciążenia, kombinacje obciążeń, podpory, imperfekcje itd. Uczymy się tego, co przyda się im w biurze projektowym. Podstawy teoretyczne z prostymi przykładami można pokazać na wykładzie. Podręczników z przykładami ręcznymi do MES nie jest za wiele, bo autorzy nie chcą pokazywać ręcznych obliczeń do metody, którą komputer jest w stanie analizować ustrój o np. kilku milionach stopni swobody. To tak jakby ktoś prezentował możliwości ferrari w ruchu ulicznym po zakorkowanym polskim mieście.
-
- Użytkownik
- Posty: 618
- Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 48 razy
Re: Równanie z macierzą i wektorami
Wiem, wiem. Ręczny MES (a właściwie to chyba ta odmiana stosowana w zadaniach nazywa się Direct Stiffness Method) nadaje się do zabawy z prostymi układami (a i tak można je policzyć dużo łatwiej i przy większych kratach stosuje się już tradycyjne metody równoważenia węzłów czy Rittera*).
Ale plus tych zadań jest taki, że można sobie lepiej przyswoić działanie metody, poznać stopnie swobody różnych typów elementów itd. Korzystanie z programów nie wymaga w ogóle znajomości nawet samego pojęcia macierzy sztywności itp. Ich interfejs jest czasami banalnie prosty (przykładowo moduł MES w Inventorze) i nawet licealista by sobie poradził. Ten przykład był dla 2 elementów, więc konieczna już była agregacja macierzy sztywności. I faktycznie przy większych układach to by była masakra. Ale postanowiłem sobie poćwiczyć ręczne obliczenia z ciekawości.
Trochę przykładów znalazłem. Z tym, że większość nie jest zbyt przystępnie opisana i szukam czegoś lepszego na początek. Generalnie bardziej w książkach do wytrzymałości materiałów/mechaniki układów prętowych oraz pdf-ach z uczelni są takie zadania.
Ale plus tych zadań jest taki, że można sobie lepiej przyswoić działanie metody, poznać stopnie swobody różnych typów elementów itd. Korzystanie z programów nie wymaga w ogóle znajomości nawet samego pojęcia macierzy sztywności itp. Ich interfejs jest czasami banalnie prosty (przykładowo moduł MES w Inventorze) i nawet licealista by sobie poradził. Ten przykład był dla 2 elementów, więc konieczna już była agregacja macierzy sztywności. I faktycznie przy większych układach to by była masakra. Ale postanowiłem sobie poćwiczyć ręczne obliczenia z ciekawości.
Trochę przykładów znalazłem. Z tym, że większość nie jest zbyt przystępnie opisana i szukam czegoś lepszego na początek. Generalnie bardziej w książkach do wytrzymałości materiałów/mechaniki układów prętowych oraz pdf-ach z uczelni są takie zadania.