Równanie z macierzą i wektorami

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: StudentIB »

Witam,

zależy mi na rozwiązaniu poniższego równania, w którym występuje zarówno stała, macierz jak i 2 wektory:

\(\displaystyle{ \frac{4800}{125}\left[\begin{array}{ccc}24&0&30\\0&200&50\\30&50&100\end{array}\right] \ \left\{\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right\} \ = \ \left\{\begin{array}{c}-200&0&0\end{array}\right\}}\)

Uznałem, że należy to rozwiązać w ten sposób (mnożąc macierz 3x3 przez stałą a następnie rozpisując układ równań):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}921,6&0&1152\\0&7680&1920\\1152&1920&3840\end{array}\right]\ \left\{\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right\} \ = \ \left\{\begin{array}{c}-200&0&0\end{array}\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 921,6 \cdot u_{2}+0 \cdot \theta_{2}+1152 \cdot \theta_{3}=-200\\0 \cdot u_{2}+7680 \cdot \theta_{2}+1920 \cdot \theta_{3}=0\\1152 \cdot u_{2}+1920 \cdot \theta_{2}+3840 \cdot \theta_{3}=0 \end{array}}\)

Wolfram Alpha podaje wynik:

\(\displaystyle{ u_{2}=-\frac{875}{2304}\approx-0,37977}\)

\(\displaystyle{ \theta_{2}=-\frac{25}{768}\approx-0,032552}\)

\(\displaystyle{ \theta_{3}=\frac{25}{192}\approx0,13021}\)

Czy to jest poprawne rozwiązanie ?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: kerajs »

Tak, to dobry wynik.

Zamiast mnożenia macierzy współczynników przez liczbę można było podzielić (pomnożyć przez odwrotność) macierz wyrazów wolnych.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}24&0&30\\0&200&50\\30&50&100\end{array}\right] \ \left[\begin{array}{c}u_{2}&\theta_{2}&\theta_{3}\end{array}\right] \ = \ \left[\begin{array}{c} \frac{-125}{24} &0&0\end{array}\right]}\)

Co także daje wynik:
\(\displaystyle{ u_{2}=\frac{-875}{2304}}\)
\(\displaystyle{ \theta_{2}=\frac{-25}{768}}\)
\(\displaystyle{ \theta_{3}=\frac{25}{192}}\)
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Re: Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: StudentIB »

Dzięki za pomoc

Jeszcze jeden sposób - po przemnożeniu przez stałą można też skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ Ax=b}\)

\(\displaystyle{ x=A^{-1}b}\)

Wychodzi to samo w Wolframie:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28inv%7B%7B921.6,0,1152%7D,%7B0,7680,1920%7D,%7B1152,1920,3840%7D%7D%29*%7B%7B-200%7D,%7B0%7D,%7B0%7D%7D
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: Benny01 »

Nie zawsze tak możesz robić. Może się zdarzyć sytuacja, że macierz \(\displaystyle{ A}\) będzie nieodwracalna.
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: StudentIB »

Zgadza się. Chociaż chyba w tym zastosowaniu (MES, a przynajmniej wersja stosowana w mechanice konstrukcji) macierz, zwana macierzą sztywności, jest zawsze odwracalna. Ale głowy nie dam.
calculus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 17 paź 2016, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Re: Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: calculus »

O, MES to mój temat. Wiele lat temu kończyłem budownictwo i w pracy zawodowej i naukowej wykorzystuję MES np. w Abaqus, Robocie, RM-Win i innych programach do liczenia konstrukcji prętowych, powierzchniowych i objętościowych.

No to z macierzą sztywności jest tak:

- w przypadku zwykłej statyki (liniowej lub nieliniowej) macierz ta musi być nieosobliwa (czyli wyznacznik różny od zera),

- w przypadku groźby utraty stateczności (wyboczenie) lub zajścia zjawiska rezonansu mechanicznego w zagadnieniu dynamicznym całkowita macierz sztywności konstrukcji (czyli macierz sztywności uwzględniająca również wpływ sił osiowych oraz sił bezwładności) może być osobliwa. Dzieje się tak w momencie utraty stateczności przez wyboczenie (bifurkacja, dywergencja) lub przy zrównaniu się częstości siły wymuszającej z częstością drgań własnych konstrukcji. Wtedy wyznacznik tej macierzy wynosi zero. Ta sytuacja służy też wyznaczaniu wartości własnych macierzy. Z nich możemy np. obliczyć siłę krytyczną lub częstość drgań własnych.

To, co widzę w przykładzie powyżej to klasyczna statyka. Macierz sztywności pomnożona przez globalny wektor przemieszczeń daje w wyniku wektor sił węzłowych. To tu musi wyjść konkretny wynik.
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: StudentIB »

Zgadza się, to prosta statyka (a konkretnie belka).

Znasz może jakieś fajne źródło albo sam dysponujesz przykładami ręcznych obliczeń MES dla belki, pręta, ramy, kratownicy. Dopiero zaczynam zabawę z MESem poza programami CAE i szukam czegoś dokładnie opisanego dla początkujących. Jak najwięcej prostyh przykładów obliczeń takich konstrukcji.
calculus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 17 paź 2016, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Re: Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: calculus »

Nie chcę być uważany za złośliwego, ale MES to nie jest metoda do obliczeń ręcznych. MES stworzono dla maszyn liczących. Ręcznie można sobie policzyć co najwyżej ustroje 2, 3 góra 4-prętowe. Większa liczba stopni swobody powoduje, że układ równań robi się nieznośnie wielki i liczenie ręczne mija się z celem. Pomijam już, że przy dwóch i więcej elementach potrzeba wykonywać agregację macierzy sztywności, a dopiero potem rozwiązywać układ MES.

Sam jestem wykładowcą na uczelni i MES-u na ćwiczeniach uczę prosto: siadajcie studenci do komputerów, odpalamy oprogramowanie MES i uczymy się definiować konstrukcję - pręty, węzły, obciążenia, kombinacje obciążeń, podpory, imperfekcje itd. Uczymy się tego, co przyda się im w biurze projektowym. Podstawy teoretyczne z prostymi przykładami można pokazać na wykładzie. Podręczników z przykładami ręcznymi do MES nie jest za wiele, bo autorzy nie chcą pokazywać ręcznych obliczeń do metody, którą komputer jest w stanie analizować ustrój o np. kilku milionach stopni swobody. To tak jakby ktoś prezentował możliwości ferrari w ruchu ulicznym po zakorkowanym polskim mieście.
StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 618
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 48 razy

Re: Równanie z macierzą i wektorami

Post autor: StudentIB »

Wiem, wiem. Ręczny MES (a właściwie to chyba ta odmiana stosowana w zadaniach nazywa się Direct Stiffness Method) nadaje się do zabawy z prostymi układami (a i tak można je policzyć dużo łatwiej i przy większych kratach stosuje się już tradycyjne metody równoważenia węzłów czy Rittera*).
Ale plus tych zadań jest taki, że można sobie lepiej przyswoić działanie metody, poznać stopnie swobody różnych typów elementów itd. Korzystanie z programów nie wymaga w ogóle znajomości nawet samego pojęcia macierzy sztywności itp. Ich interfejs jest czasami banalnie prosty (przykładowo moduł MES w Inventorze) i nawet licealista by sobie poradził. Ten przykład był dla 2 elementów, więc konieczna już była agregacja macierzy sztywności. I faktycznie przy większych układach to by była masakra. Ale postanowiłem sobie poćwiczyć ręczne obliczenia z ciekawości.
Trochę przykładów znalazłem. Z tym, że większość nie jest zbyt przystępnie opisana i szukam czegoś lepszego na początek. Generalnie bardziej w książkach do wytrzymałości materiałów/mechaniki układów prętowych oraz pdf-ach z uczelni są takie zadania.
ODPOWIEDZ