Wartość własna macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Wartość własna macierzy

Post autor: shreder221 »

Mam za zadanie policzyć wektor własny macierzy i stwierdzić czy jest on diagonalizowalny
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}7&0&0\\-6&9&4\\3&-1&5\end{array}\right]}\)

wartość własna \(\displaystyle{ \lambda=7}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\-6&-1&4\\3&-1&-2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{ccc}1\\3\\0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{ccc}0\\-2\\1\end{array}\right]}\)

I co teraz?
Wydaje mi się że nie jest ponieważ ma 2 wektory własne dla jednej wartości własnej zatem nie stworzę Tej macierzy okalającej macierz diagonalną.
Moglibyście jak najprościej stwierdzić ( w ogólności )czy macierz jest diagonalizowalna czy nie?

Pozdrawiam shreder221
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Wartość własna macierzy

Post autor: Benny01 »

Macierz jest diagonalizowalna, jeśli krotność arytmetyczna jest równa krotności geometrycznej \(\displaystyle{ \lambda}\) tj. każdy pierwiastek krotności \(\displaystyle{ k}\) musi Ci rozpiąć podprzestrzeń \(\displaystyle{ k}\) wymiarową.
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Wartość własna macierzy

Post autor: shreder221 »

jeśli krotność arytmetyczna jest równa krotności geometrycznej
?//?


Co oznaczają te krotności?
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Wartość własna macierzy

Post autor: Benny01 »

Przecież napisałem
tj. każdy pierwiastek krotności \(\displaystyle{ k}\) musi Ci rozpiąć podprzestrzeń \(\displaystyle{ k}\) wymiarową.
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Wartość własna macierzy

Post autor: shreder221 »

Pytanie wynikała z tego że nie rozumiem sformułowania
pierwiastek krotności k
Podejrzewam że masz na myśli że każdej wartości własnej przypada tyle wektorów własnych ile krotna jest wartość własna

Czyli np
mamy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ \lambda^{2}(\lambda-2)=0}\)
Jeśli z \(\displaystyle{ \lambda=2}\) wyjdzie 1 wektor
i z \(\displaystyle{ \lambda=0}\) wyjdą 2 wektory to macierz jest diagonalizowalna jeśli będzie jakkolwiek inaczej to nie jest.
Dobrze mi się wydaje?
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Wartość własna macierzy

Post autor: Benny01 »

Tak. Dla pierwiastków jednokrotnych nie musisz tego sprawdzać, zawsze dostaniesz 1 wektor.
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Wartość własna macierzy

Post autor: shreder221 »

To jeszcze pytanie czym jest i jak ma się do tego (uwolniony)uogólniony wektor własny. A także jak znaleść wartość własną od wektora uogólnionego? Tak żebystworzyć macierz diagonalną
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Wartość własna macierzy

Post autor: Benny01 »

Miałeś macierze Jordana?
shreder221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 181
Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wartość własna macierzy

Post autor: shreder221 »

Chyba nie.
I btw czym się różni policzenie \(\displaystyle{ e^A}\) od
znalezienie macierzy\(\displaystyle{ e^A}\)
ODPOWIEDZ