Wartość własna macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Wartość własna macierzy
Mam za zadanie policzyć wektor własny macierzy i stwierdzić czy jest on diagonalizowalny
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}7&0&0\\-6&9&4\\3&-1&5\end{array}\right]}\)
wartość własna \(\displaystyle{ \lambda=7}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\-6&-1&4\\3&-1&-2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{ccc}1\\3\\0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{ccc}0\\-2\\1\end{array}\right]}\)
I co teraz?
Wydaje mi się że nie jest ponieważ ma 2 wektory własne dla jednej wartości własnej zatem nie stworzę Tej macierzy okalającej macierz diagonalną.
Moglibyście jak najprościej stwierdzić ( w ogólności )czy macierz jest diagonalizowalna czy nie?
Pozdrawiam shreder221
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}7&0&0\\-6&9&4\\3&-1&5\end{array}\right]}\)
wartość własna \(\displaystyle{ \lambda=7}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\-6&-1&4\\3&-1&-2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{ccc}1\\3\\0\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{ccc}0\\-2\\1\end{array}\right]}\)
I co teraz?
Wydaje mi się że nie jest ponieważ ma 2 wektory własne dla jednej wartości własnej zatem nie stworzę Tej macierzy okalającej macierz diagonalną.
Moglibyście jak najprościej stwierdzić ( w ogólności )czy macierz jest diagonalizowalna czy nie?
Pozdrawiam shreder221
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Wartość własna macierzy
Macierz jest diagonalizowalna, jeśli krotność arytmetyczna jest równa krotności geometrycznej \(\displaystyle{ \lambda}\) tj. każdy pierwiastek krotności \(\displaystyle{ k}\) musi Ci rozpiąć podprzestrzeń \(\displaystyle{ k}\) wymiarową.
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Wartość własna macierzy
?//?jeśli krotność arytmetyczna jest równa krotności geometrycznej
Co oznaczają te krotności?
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Wartość własna macierzy
Przecież napisałem
tj. każdy pierwiastek krotności \(\displaystyle{ k}\) musi Ci rozpiąć podprzestrzeń \(\displaystyle{ k}\) wymiarową.
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Wartość własna macierzy
Pytanie wynikała z tego że nie rozumiem sformułowania
Czyli np
mamy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ \lambda^{2}(\lambda-2)=0}\)
Jeśli z \(\displaystyle{ \lambda=2}\) wyjdzie 1 wektor
i z \(\displaystyle{ \lambda=0}\) wyjdą 2 wektory to macierz jest diagonalizowalna jeśli będzie jakkolwiek inaczej to nie jest.
Dobrze mi się wydaje?
Podejrzewam że masz na myśli że każdej wartości własnej przypada tyle wektorów własnych ile krotna jest wartość własnapierwiastek krotności k
Czyli np
mamy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ \lambda^{2}(\lambda-2)=0}\)
Jeśli z \(\displaystyle{ \lambda=2}\) wyjdzie 1 wektor
i z \(\displaystyle{ \lambda=0}\) wyjdą 2 wektory to macierz jest diagonalizowalna jeśli będzie jakkolwiek inaczej to nie jest.
Dobrze mi się wydaje?
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Wartość własna macierzy
To jeszcze pytanie czym jest i jak ma się do tego (uwolniony)uogólniony wektor własny. A także jak znaleść wartość własną od wektora uogólnionego? Tak żebystworzyć macierz diagonalną
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wartość własna macierzy
Chyba nie.
I btw czym się różni policzenie \(\displaystyle{ e^A}\) od
znalezienie macierzy\(\displaystyle{ e^A}\)
I btw czym się różni policzenie \(\displaystyle{ e^A}\) od
znalezienie macierzy\(\displaystyle{ e^A}\)