Macierz przejścia

[pavel232]

Mam wątpliwości co do jednego zadania.Napisać macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do bazy \(\displaystyle{ B'}\) odpowiednich przestrzeni liniowych: \(\displaystyle{ V=R^{2}, B=\left\{ (3,1),(2,1)\right\}, B'=\left\{ (1,-1),(2,3)\right\}}\). W jednej z książek pokazują, że zachodzi zależność \(\displaystyle{ (1,-1)=3(3,1)-4(2,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,3)=-4(3,1)+7(2,1)}\). Zatem macierz \(\displaystyle{ P ^{B} _{B'}=\left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ -4 & 7\end{array}\right]}\). W innej książce znalazłem algorytm do wyznaczania macierzy przejścia: \(\displaystyle{ [B'|B]\sim[I_{n}|P ^{B} _{B'}]}\). Chciałem go użyć, aby sprawdzić, że wyjdzie taki sam wynik, ale wykonując przekształcenia otrzymałem zupełnie coś innego \(\displaystyle{ [B'|B]=\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{array}\right|\left\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\sim\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|\left\begin{array}{cc} \frac{7}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right|}\). Gdzie mogłem się pomylić?

[Mathix]

Wziąłeś wektory ze złej bazy. Masz znaleźć macierz z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ B'}\), czyli:
\(\displaystyle{ M_{B'}(B)}\) - macierz \(\displaystyle{ B}\) w bazie \(\displaystyle{ B'}\)
Ty zrobiłeś na odwrót tą pierwszą metodą, drugiej nie znam, ale wynik jest poprawny.
Pierwszą metodą powinno być:
\(\displaystyle{ (3,1)=\frac{7}{5}(1,-1)+\frac{4}{5}(2,3) \\ (2,1)=\frac{4}{5}(1,-1)+\frac{3}{5}(2,3)}\)
Wtedy mając jakiś wektor \(\displaystyle{ v}\) możesz skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ M_{B'}(B)\cdot M_B(v)=M_{B'}(v)}\)

[pavel232]

To pierwsze obliczenie to tego przykładu znalazłem w książce i w jakimś filmiku na youtube, tamtą metodą chciałem sprawdzić. Coś mi się nie zgadzało, a zwykle zakładałem, że jak jest w książce to jest ok

[Mathix]

Po twojej odpowiedzi, jeszcze sprawdziłem z innymi źródłami i jest faktycznie tak jak mówisz. Tak przynajmniej jest na tej stronie, a jest wiarygodna:

Kod: Zaznacz cały

http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/alg/scb/index83.html

Wybacz, pomyliły mi się pojęcia. Natomiast wszystko co napisałem jest dobrze tylko nie jest to definicja macierzy przejścia.
Macierzą przejścia z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ B'}\) będzie:
\(\displaystyle{ M_B(B')}\), czyli macierz \(\displaystyle{ B'}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\) tak jak napisałeś na początku.
Zauważ, że \(\displaystyle{ M_B(B')=M_{B'}(B)^{-1}}\)