Macierz odwzorowania w bazie wektorów własnych.

[pavel232]

Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ A:R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ A((x,y,z))=(2x-y-z,-x+4y-z,-x-y+4z}\). Wyznaczyć wartości własne, wektory własne odwzorowania \(\displaystyle{ A}\), oraz macierz odwzorowania \(\displaystyle{ A}\) w bazie wektorów własnych.
Zaczynam od tego, że \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 2- \alpha & -1 & -1 \\ -1 & 4-\alpha & -1 \\ -1 & -1 & 4-\alpha \end{array}\right]}\). Otzrymuję z tego \(\displaystyle{ \alpha _{1}=1, \alpha _{2}=5, \alpha _{3}=4}\). Otrzymuję dla nich odpowiednio takie wektory własne \(\displaystyle{ w _{1}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]x _{3}}\), \(\displaystyle{ w _{2}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right]x _{3}}\) i \(\displaystyle{ w _{3}=\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]x _{3}}\). Czy macierz odwzorowania A w bazie wektórów własnych to macierz utworzona z tych trzech wektorów?

[Mathix]

Podpowiedź 1:
\(\displaystyle{ \omega}\) - baza złożona z wektorów własnych macierzy
\(\displaystyle{ B}\) - baza standardowa
\(\displaystyle{ M_B^B(A)=M_B(\omega)\cdot M_{\omega}^{\omega}(A)\cdot M_{\omega}(B)}\)

Podpowiedź 2:
Diagonalizacja.