Macierze nieosobliwe - dowód

[adda16]

Dane są macierze \(\displaystyle{ A, B \in \mathbb{C}^{n,n}}\) takie, że macierz \(\displaystyle{ I_{n} - AB}\) jest nieosobliwa. Udowodnij, że macierz \(\displaystyle{ I_{n} - BA}\) też jest nieosobliwa.

[Lider_M]

Wskazówka: Postać Jordana macierzy.

[adda16]

Chodzi o to, żeby pokazać, że mają taką samą macierz Jordana (o ile to jest prawda)? I wtedy są do siebie podobne, czyli jeśli pierwsza jest nieosobliwa, to ta druga też?
Tak to rozumiem, ale nie wiem jak miałbym pokazać że mają taką samą macierz Jordana.

[Lider_M]

Najpierw pokaż, że \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BA}\) mają te same wartości własne.

[adda16]

\(\displaystyle{ p_{AB}(\lambda)= \det(AB- \lambda I) = \det A \cdot \det (B - \lambda A^{-1}) = \det (B - \lambda A^{-1}) \cdot \det A =}\)
\(\displaystyle{ = \det (BA - \lambda A^{-1}A) = \det (BA - \lambda I) = p_{BA}(\lambda)}\)

Mają takie same wielomiany charakterystyczne, więc mają takie same wartości własne.
Ale co dalej? Żeby pokazać, że mają taką samą macierz Jordana musiałbym znać wymiary podprzestrzeni własnych dla każdej wartości własnej - bo od tego zależy jak będą wyglądać klatki.

[Lider_M]

Ten szkic dowodu jest niepoprawny, nie wiemy nic o tym, czy macierze \(\displaystyle{ A, B}\) są odwracalne.

[adda16]

Nie wiem jak to zrobić :/

[Lider_M]

Szkic dowodu tego, że \(\displaystyle{ AB, BA}\) mają te same wartości własne.

1:    

Niech \(\displaystyle{ \lambda, v_{\lambda}}\) będzie w.w. i w.w. macierzy \(\displaystyle{ AB}\), tj zachodzi zależność:
\(\displaystyle{ ABv_{\lambda}=\lambda v_{\lambda}.}\)
Mnożąc stronami (lewostronnie) przez macierz \(\displaystyle{ B}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ BA\big(Bv_{\lambda}\big)=\lambda \big(Bv_{\lambda}\big),}\)
czyli \(\displaystyle{ \lambda, Bv_{\lambda}}\) to w.w. i w.w. macierzy \(\displaystyle{ BA}\) (o ile \(\displaystyle{ Bv_{\lambda}\neq 0}\). Przypadek gdyby \(\displaystyle{ Bv_{\lambda}=0}\) zastawiam do dokończenia Tobie).

Jak już mamy, że \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BA}\) mają te same wartości własne, to zastanów się kiedy macierz \(\displaystyle{ I-AB}\) jest odwracalna/nieodwracalna - postaraj się ten warunek uzależnić w jakiś sposób od wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ AB}\).