Rozkład SVD a macierz pseudoodwrotna.

[pawlo392]

Jeśli macierz \(\displaystyle{ A=U\Sigma V^T}\) to \(\displaystyle{ A^+=V\Sigma^+U^T}\).
Macierz \(\displaystyle{ \Sigma}\) to macierz mająca wartości singularne na przekątnej. Natomiast macierz \(\displaystyle{ \Sigma^+}\) posiada na przekątnej odwrotności wartości singularnych. Z czego to wynika? Jak to uzasadnić ?

[leg14]

Jaką definicję macierzy pseudoodwrotnej przyjmujesz?

[pawlo392]

Macierz pseudoodwrotna do macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest jednoznacznie wyznaczona przez następujące warunki:
\(\displaystyle{ AA^+=P}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą rzutowania na przestrzeń generowaną przez kolumny macierzy \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ Ab}\) należy do wierszy macierzy \(\displaystyle{ A}\)
Z tym \(\displaystyle{ b}\) chodzi o to, że rozważam (dla dowolnego \(\displaystyle{ b}\)) odwzorowanie \(\displaystyle{ b \rightarrow x}\). Takie aby \(\displaystyle{ Ax=Pb}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) należał do wierszy A.

[leg14]

\(\displaystyle{ P = A (A^{T} A)^{-1} A^T}\)

[pawlo392]

Mogę z tego wyjść jeśli założe, że mam liniowo niezależne kolumny.