ułamki proste

[Dzonzi]

\(\displaystyle{ \frac{1}{s^2+s+1} = \frac{1}{s(s+1)+1} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+1}}\)

Tak to będzie? Trochę dziwne

[Janusz Tracz]

Tak nie będzie. Zawsze warto się sprawdzić w sytuacjach w których na się wątpliwości i wtedy widać że taki być nie może. Ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{s^2+s+1}}\) już jest ułamkiem prostym i nie można go bardziej rozłożyć pozostając w liczbach rzeczywistych.

[Dzonzi]

No właśnie. To jak ja mam z tego policzyć odwrotną transformatę laplacea?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{1}{s^2+s+1}=\frac{1}{\left( s+\frac 1 2\right)^2+\frac 3 4}}\)
Teraz zaglądasz

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Transformacja_Laplace%E2%80%99a#Transformaty_Laplace%E2%80%99a_cz%C4%99%C5%9Bciej_spotykanych_funkcji

i przyglądasz się wzorkowi na \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ e^{at}\sin(bt)\right\}}\). Jakieś pomysły?

[Janusz Tracz]

1) To że nie można z tym nic zrobić w liczbach rzeczywistych nie znaczy że nie można podziałać w zespolonych.

2) Jeśli nie chcesz bawić się w zespolone to się nie dziwie do mi też się nie chce. Wtedy propozycja Przemka jest najlepszym rozwiązaniem.

3) Jest jeszcze inna opcja. Mamy już gotowy wzór \(\displaystyle{ f(t)= \sum_{s_k\in \mathbb{S}} \text{res}_{s_k}\left\{ F(s)e^{st}\right\}}\).

\(\displaystyle{ f(t)= \text{res}\left\{ \frac{e^{st}}{s^2+s+1} \right\}\Big|_{s_k= -\frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} }}\ \ +\text{res}\left\{ \frac{e^{st}}{s^2+s+1} \right\}\Big|_{s_k= -\frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} }}}\)

W tym przypadku mamy to szczęści że łatwo policzyć residua w postaci ogólnej a potem tylko automatycznie podstawiać bieguny.

\(\displaystyle{ \text{res}\left\{ \frac{e^{st}}{s^2+s+1} \right\}= \frac{e^{st}}{2s+1}}\)

wobec tego

\(\displaystyle{ f(t)=\frac{e^{\left( -\frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) t}}{2\left( -\frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) +1}+\frac{e^{\left( -\frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) t}}{2\left( -\frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) +1}= \frac{2}{ \sqrt{3} }e^{- \frac{t}{2} }\sin\left( \frac{ \sqrt{3}}{ 2}t \right)}\)

[Dzonzi]

o kurde... to takiego ułamka nie da, bo za mało czasu, żeby się z tym tak bawić. 5 min na zadanie, czyli mówi dać takie żeby w pamięci to zrobić.