Wektor unormowany

[tomekkura2012]

Orientuje się ktoś jak obliczyć współrzędne wektora unormowanego tworzącego z wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}=[1,0,0]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=[1,\sqrt{3},0]}\) kąt równy \(\displaystyle{ 60^\circ}\) .

[kerajs]

Niech szukanym wektorem będzie \(\displaystyle{ \vec{c}=\left[ x,y,z\right]}\) .
\(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right|=1\\
\left| \vec{b} \right|=2\\
\left| \vec{a} \right|= \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{a} \circ \vec{c} =\left| \vec{a} \right|\left| \vec{c} \right|\cos \frac{ \pi }{3} \\ \vec{b} \circ \vec{c} =\left| \vec{b} \right|\left| \vec{c} \right|\cos \frac{ \pi }{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \cdot \frac{1}{2} \\ x+ \sqrt{3}y=2\sqrt{x^2+y^2+z^2} \cdot \frac{1}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ 2\sqrt{3}y=\sqrt{x^2+y^2+z^2 } \end{cases}}\)
zał: \(\displaystyle{ x>0 \wedge y>0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=3y^2 \\ z^2=8y^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \sqrt{3} y \\ z= 2\sqrt{2} y \end{cases} \vee \begin{cases} x= \sqrt{3} y \\ z= -2\sqrt{2} y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \vec{c_1}=\left[ \sqrt{3} y,y,2\sqrt{2} y\right] \vee \vec{c_2}=\left[ \sqrt{3} y,y,-2\sqrt{2} y\right] \\
\left| \vec{c_1} \right|=\left| \vec{c_2} \right|= \sqrt{3y^2+y^2+8y^2}=2 \sqrt{3}y\\
\vec{c_{1U}}=\left[ \frac{1}{2},\frac{ \sqrt{3} }{6},\frac{ \sqrt{6} }{3} \right] \vee \vec{c_{2U}}=\left[ \frac{1}{2},\frac{ \sqrt{3} }{6},\frac{ -\sqrt{6} }{3} \right]}\)