Baza podprzestrzeni wektorowej

[Cassandra19x]

Na egzaminie z Algebry miałam takie zadanie:

Dana jest podprzestrzeń wektorowa w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\).
\(\displaystyle{ W = \{(x+y-z, x-z+t, y-z-t, x+y-2z), x,y,z,t \in \RR\}}\)

Pierwszy podpunkt polegał na wyznaczeniu bazy tej podprzestrzeni. Napisałam, że nie ma, bo po obliczeniu wyznacznika macierzy złożonej z czterech wektorów wyszedł on \(\displaystyle{ 0}\), czyli wektory były liniowo zależne.

Później były podpunkty żeby m.in. ortogonalizować otrzymaną bazę.

I teraz pytanie czy to była jakaś pułapka czy mój błąd, bo skoro bazy nie ma to dalej nic nie można zrobić. Chyba, że się mylę.

[Jan Kraszewski]

Nie sprawdzając nawet Twoich rachunków łatwo sprawdzić, że popełniłaś błąd. Jeżeli wyznacznik wyszedł zero, to znaczy tylko tyle, że \(\displaystyle{ W\ne\RR^4}\), czyli \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią niższego wymiaru. Powinnaś ustalić, jaki to wymiar, znaleźć bazę itd.

JK

[bartek118]

Pierwszy podpunkt polegał na wyznaczeniu bazy tej podprzestrzeni. Napisałam, że nie ma, bo po obliczeniu wyznacznika macierzy złożonej z czterech wektorów wyszedł on \(\displaystyle{ 0}\), czyli wektory były liniowo zależne.

Dodam może, że przecież każda przestrzeń liniowa ma bazę. Sprawdziłaś jedynie, że wektory, które generują przestrzeń nie stanowią bazy (jest ich za dużo), czyli trzeba je po kolei zabierać i sprawdzać, czy pozostałe są liniowo niezależne, czy jeszcze nie.

[Cassandra19x]

Sprawdziłaś jedynie, że wektory, które generują przestrzeń nie stanowią bazy (jest ich za dużo.

Do tej pory wydawało mi się, że skoro dostaję cztery wektory to muszą one być liniowo niezależne żeby tworzyć bazę w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\). Sprawdziłam później po odrzuceniu jednego z nich i zostały mi trzy. I były one już liniowo niezależne, tylko, że nie zrobiłam nic z tym dalej, bo myślałam, że baza ma wyjść w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) właśnie.

[Jan Kraszewski]

Do tej pory wydawało mi się, że skoro dostaję cztery wektory to muszą one być liniowo niezależne żeby tworzyć bazę w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\).

I słusznie Ci się wydawało.

tylko, że nie zrobiłam nic z tym dalej, bo myślałam, że baza ma wyjść w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) właśnie.

A to już Twój ewidentny błąd, tym bardziej, że w zadaniu wyraźnie była mowa o podprzestrzeni.

JK

[bartek118]

Sprawdziłaś jedynie, że wektory, które generują przestrzeń nie stanowią bazy (jest ich za dużo.

Do tej pory wydawało mi się, że skoro dostaję cztery wektory to muszą one być liniowo niezależne żeby tworzyć bazę w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\). Sprawdziłam później po odrzuceniu jednego z nich i zostały mi trzy. I były one już liniowo niezależne, tylko, że nie zrobiłam nic z tym dalej, bo myślałam, że baza ma wyjść w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) właśnie.

Tak, tylko nie szukałaś bazy \(\displaystyle{ \RR^4}\), ale bazy \(\displaystyle{ V}\).