Suma prosta podprzestrzeni w zależności od parametru

[adda16]

Niech \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\). W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) zdefiniowano podprzestrzenie liniowe

\(\displaystyle{ V_a = span([1,1+a,-2]^T,[2,6,-2-a]^T)}\)

\(\displaystyle{ W_b = span([0,3,-1-b]^T,[2,2+b,-2]^T)}\)

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a, b}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3=V_a \oplus W_b}\)?

Najpierw sprawdziłem czy te wektory rozpinające podprzestrzenie są liniowe niezależne i wyszło mi, że są dla \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R}}\). Potem sprawdziłem dla jakich \(\displaystyle{ a,b}\) będzie zachodzić \(\displaystyle{ V_a \cap W_b = \{0\}}\) i wyszło mi, że dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i dowolnego \(\displaystyle{ b}\).

Nie wiem co dalej i czy te poprzednie kroki były konieczne.
Jak robiłem wcześniej podobne zadania bez parametrów, gdzie trzeba było pokazać, że \(\displaystyle{ A \oplus B = \mathbb{R}^n}\) to teraz wystarczyło na wymiarach. Ale tutaj się nie zgadza.

[janusz47]

Najpierw uzasadniamy, że wektor

\(\displaystyle{ \vec{u} = \left[ \begin{matrix}x\\y\\z \end{matrix}\right]\in V_{a} \cap W_{b}}\) (1)

Teraz wystarczy pokazać, że każdy wektor \(\displaystyle{ [a, b, c]^{T}\in \RR^3}\)

przedstawiamy jako sumę wektorów: \(\displaystyle{ \vec{v}\in V_{a}, \ \ \vec{w} \in W_{b}}\) (2)

Z warunków (1), (2) znajdujemy wartości parametrów \(\displaystyle{ a, b.}\)

[adda16]

Nie wiem jak te warunki przełożyć na równania
Dla pierwszego warunku rozumiem to tak, że skoro
\(\displaystyle{ \vec{u} = \left[ \begin{matrix}x\\y\\z \end{matrix}\right]\in V_{a} \cap W_{b}}\)
to
\(\displaystyle{ \vec{u} = \alpha [1,1+a,-2]^T + \beta [2,6,-2-a]^T = \gamma [0,3,-1-b]^T + \delta [2,2+b,-2]^T}\)

i wychodzi z tego jakiś skomplikowany układ równań