potęgowanie macierzy. Zdegenerowana wartość własna

[sportowiec1993]

Mam obliczyć
\(\displaystyle{ \textbf{A}^{n}}\), gdzie: \(\displaystyle{ \textbf{A}= \left[\begin{array}{ccc}i&1\\4&-3i\end{array}\right]}\).
Wartość własna jest 2 krotnie zdegenerowana: \(\displaystyle{ \lambda = - i}\)
Gdyby macierz miała 2 różne wartości własne, to byłoby ze wzoru:
\(\displaystyle{ \textbf{A}^{n} = \textbf{S}\cdot \textbf{D}^{n} \cdot \textbf{S}^{-1}}\)
Tutaj jednak macierzy A nie można zdiagonalizować.
Jak w takim razie, policzyć \(\displaystyle{ \textbf{A}^{n}}\)?-- 3 lut 2018, o 21:42 --Czy trzeba liczyć "na piechotę" czy można jakoś inaczej?

[NogaWeza]

Twierdzenie Jordana mówi o tym, że taki rozkład w ciele liczb zespolonych zawsze istnieje, co prawda nie zawsze \(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną, w ogólności składa się bowiem z klatek Jordana, ale wzór na potęgowanie \(\displaystyle{ A}\) pozostaje prawdziwy. Nieco inaczej potęguje się klatki Jordana, ale nie jest to bardzo skomplikowane.