Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
marcin0248
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 1 lut 2018, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubelskie
Podziękował: 1 raz

Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: marcin0248 »

Nie wiem czy tak to dokładnie tak powinno być, czy na tym polega wyznaczanie jądra i obrazu przekształcenia, dlatego proszę was o pomoc.

\(\displaystyle{ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+5x_2+4x_3+x_4, 3x_1+x_2+2x_3+x_4, 5x_1+4x_2+5x_3+2x_4)}\)

1. ker T:

Przyrównuję do \(\displaystyle{ 0}\) :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+5x_2+4x_3+x_4=0\\
3x_1+x_2+2x_3+x_4=0\\
5x_1+4x_2+5x_3+2x_4=0\end{cases}}\)


Sprowadzam tak, żeby przedstawić to za pomocą \(\displaystyle{ 2x}\) , czyli:

\(\displaystyle{ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2x_2+x_3,x_2,x_3,-7x_2-5x_3)=x_2(2,1,0,-7)+x_3(1,0,1,-5)}\)

i czy jądro to wtedy:

\(\displaystyle{ \ker T = \text{lin}{(2,1,0,-7),(1,0,1,-5)}}\) ?

2. Im T

\(\displaystyle{ x_1(1,3,5)+x_2(5,1,4)+x_3(4,2,5)+x_4(1,1,2)}\)
\(\displaystyle{ \Im T\;\text{lin}{(1,3,5),(5,1,4),(4,2,5),(1,1,2)}}\)

Tworzę macierz i próbuję zerować:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\
5 & 1 & 4 \\
4 & 2 & 5 \\
1 & 1 & 2\\\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0\\\end{bmatrix}}\)


i ostatecznie wychodzi:

\(\displaystyle{ \Im T=\text{lin}{(-3,1,0),(2,0,1)}}\)

Czy tak to powinno wyglądać?
Ostatnio zmieniony 4 lut 2018, o 00:22 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Jądro i obraz przekształcenia liniowego

Post autor: karolex123 »

Wszystko jest w porządku
ODPOWIEDZ