W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_{4}}\) (nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) dane są podprzestrzenie liniowe
\(\displaystyle{ U = \{ p \in\mathbb{R}[x]_{4} | \ p(2i) = p(1) = 0 \}}\)
\(\displaystyle{ V = \{ p \in \mathbb{R}[x]_{4} | \ \forall _{x \in \mathbb{R}} \ p(x) = p(-x) \}}\)
a) Znajdź bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ U \cap V}\) i \(\displaystyle{ U+V}\).
b) Znajdź bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W \subset \mathbb{R}[x]_{4}}\) takiej, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_{4} = (U+V) \oplus W}\).
Mam taki problem, że nie wiem jak z tych opisów podprzestrzeni przejść na wektory (bo tak mi łatwiej).
Rozpisuję sobie \(\displaystyle{ p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\)
i potem dla podprzestrzeni U
\(\displaystyle{ c = \frac{15a-b(1+8i)+d(2i-1)}{5}}\)
\(\displaystyle{ e = -a-b-c-d}\)
\(\displaystyle{ e = -a -b-d- \frac{15a-b(1+8i)+d(2i-1)}{5}}\)
\(\displaystyle{ e = \frac{-20a+4b(2i-2)+2d(-3-i)}{5}}\)
i ten wektor to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a\\b\\\frac{15a-b(1+8i)+d(2i-1)}{5}\\d\\ \frac{-20a+4b(2i-2)+2d(-3-i)}{5}\end{array}\right]}\)
Hmm, jestem trochę zajęty, więc odpowiem trochę skrótowo. Mamy do czynienia z wielomianami o współczynnikach rzeczywistych zmiennej zespolonej (to oznaczenie x mi się nie podoba, no ale skoro mamy warunek na \(\displaystyle{ 2i}\) to musi tak być). Z warunku wiemy, że wielomian ten ma 3 miejsca zerowe (dlaczego?) więc \(\displaystyle{ W(z)=\left( z ^{2}+4 \right)\left( z-1\right)\left( az+b \right) \ \ a, \
b \ \in \RR}\). Z tego już łatwo wyznaczyć bazę. Aby to zrobić musisz wymnożyć ten warunek. Oraz wyłączyć przed nawias parametry. Dwa wynikowe wielomiany (już bez parametrów oczywiście) będą Twoją bazą.
Aby wyznaczyć drugą bazę wystarczy prosta obserwacja. W naszym wielomianie wszystkie współczynniki przy nieparzystych potęgach muszą się zerować, więc wielomian ma postać \(\displaystyle{ W(z)=az ^{4}+bz ^{2}+c \ \ a, \ b, \ c \ \in \RR}\). Baza tego jest dana "na tacy".
Teraz ustalasz sobie bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R _{4}[z]}\), chociażby \(\displaystyle{ B=\left\{ 1,\ x,\ x ^{2},\ x ^{3},\ x ^{4} \right\}}\) oraz zapisujesz bazy podprzestrzeni jako współrzędne w bazie całej przestrzeni. Od tego miejsca jest już prosto gdyż działasz na \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\). W razie problemów pisz po potem rozpiszę to dalej.
EDIT : Dopiero teraz przeczytałem, że w definicji drugiej podprzestrzeni jest tak jakby "wymuszona" zmienna w rzeczywistych... Dziwne, aczkolwiek nie zmienia to w tym wypadku bazy, a więc i rozwiązania.
Zymon pisze:Z warunku wiemy, że wielomian ten ma 3 miejsca zerowe (dlaczego?) więc \(\displaystyle{ W(z)=\left( z ^{2}+4 \right)\left( z-1\right)\left( az+b \right) \ \ a, \
b \ \in \RR}\).
Skoro ma trzy miejsca zerowe, to po co to \(\displaystyle{ (az+b)}\)? Te trzy miejsca zerowe są tutaj przecież \(\displaystyle{ (z^2+4)(z-1)}\). Nie rozumiem.
Chodzi o to, że ma 3 pierwiastki o których wiemy, ale przecież wielomian jest stopnia co najwyżej czwartego, a my wyznaczamy ogólną postać tego wielomianu, tak więc musimy dodać jeszcze jeden czynnik tak by się stopień zgadzał.
wielomian to też wektor jeżeli mamy być dokładni. Ale jeżeli przez wektor rozumiesz \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) to właśnie na niego zamieniasz, za pomocą współrzędnych w bazie
Dokładnie o to chodzi. Teraz masz dwa układy rozpinające i liczysz jakby to były "normalne" podprzestrzenie. Wiesz jak dalej?
