Mam pokazać, że poniższe wektory
\(\displaystyle{ E_{1} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1 \end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ E_{2} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1 \end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ E_{3} = \left[\begin{array}{ccc}0& -i\\i&0 \end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ E_{4} = \left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0 \end{array}\right]}\),
tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni V względem iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left( X|Y\right)= tr(XY)}\), gdzie V - rzeczywista przestrzeń wektorowa macierzy hermitowskich stopnia 2.
Zastanawiam się jak się do tego zabrać.
Czy wystarczy pokazać, że powyższe macierze są liniowo niezależne, a
następnie sprawdzić że ich wszystkie iloczyny skalarne są równe zero?
Np. dla \(\displaystyle{ E_{1}}\) i \(\displaystyle{ E_{2}}\):
\(\displaystyle{ E{1} \cdot E_{2} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Tr\left( E_{1}E_{2}\right) =1 +(-1)=0}\) zatem wektory \(\displaystyle{ E_{1}}\) i \(\displaystyle{ E_{2}}\) są wzajemnie ortogonalne
itd.
Czy jednak trzeba jeszcze jakieś założenia przyjąć itp?-- 2 lut 2018, o 18:10 --to jak z tą bazą?
Baza ortogonalna, macierze stopnia 2
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: małopolska
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Baza ortogonalna, macierze stopnia 2
0. Sprawdzasz, czy te macierze należą w ogóle do \(\displaystyle{ V}\).
1. Sprawdzasz, czy są one liniowo niezależne.
2. Sprawdzasz, czy są parami ortogonalne (licząc iloczyny skalarne).
3. Sprawdzasz, czy generują przestrzeń, tzn. czy każdą macierz hermitowską stopnia 2 da się zapisać przy pomocy kombinacji liniowej tych wektorów.
1. Sprawdzasz, czy są one liniowo niezależne.
2. Sprawdzasz, czy są parami ortogonalne (licząc iloczyny skalarne).
3. Sprawdzasz, czy generują przestrzeń, tzn. czy każdą macierz hermitowską stopnia 2 da się zapisać przy pomocy kombinacji liniowej tych wektorów.
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: małopolska
- Podziękował: 5 razy
Baza ortogonalna, macierze stopnia 2
ok, dzięki!!
-- 3 lut 2018, o 11:37 --
właśnie mnie punkt 3) zastanawia.
Jak to pokazać? Czy wystarczy np w ten sposób:
\(\displaystyle{ p \cdot E_{1} + q \cdot E_{2} + r \cdot E_{3} + t \cdot E_{4} = \left[\begin{array}{ccc}a&b- k \cdot i\\b + k \cdot i &d\end{array}\right]}\), gdzie
\(\displaystyle{ p,q,r,t,a,b,d \in \RR}\)
i sprawdzić czy powyższe równanie ma zawsze rozwiązania??-- 3 lut 2018, o 21:36 --to jak ?
-- 3 lut 2018, o 11:37 --
właśnie mnie punkt 3) zastanawia.
Jak to pokazać? Czy wystarczy np w ten sposób:
\(\displaystyle{ p \cdot E_{1} + q \cdot E_{2} + r \cdot E_{3} + t \cdot E_{4} = \left[\begin{array}{ccc}a&b- k \cdot i\\b + k \cdot i &d\end{array}\right]}\), gdzie
\(\displaystyle{ p,q,r,t,a,b,d \in \RR}\)
i sprawdzić czy powyższe równanie ma zawsze rozwiązania??-- 3 lut 2018, o 21:36 --to jak ?