Baza ortogonalna, macierze stopnia 2

[sportowiec1993]

Mam pokazać, że poniższe wektory
\(\displaystyle{ E_{1} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1 \end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ E_{2} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1 \end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ E_{3} = \left[\begin{array}{ccc}0& -i\\i&0 \end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ E_{4} = \left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0 \end{array}\right]}\),
tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni V względem iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left( X|Y\right)= tr(XY)}\), gdzie V - rzeczywista przestrzeń wektorowa macierzy hermitowskich stopnia 2.

Zastanawiam się jak się do tego zabrać.
Czy wystarczy pokazać, że powyższe macierze są liniowo niezależne, a
następnie sprawdzić że ich wszystkie iloczyny skalarne są równe zero?
Np. dla \(\displaystyle{ E_{1}}\) i \(\displaystyle{ E_{2}}\):
\(\displaystyle{ E{1} \cdot E_{2} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Tr\left( E_{1}E_{2}\right) =1 +(-1)=0}\) zatem wektory \(\displaystyle{ E_{1}}\) i \(\displaystyle{ E_{2}}\) są wzajemnie ortogonalne
itd.

Czy jednak trzeba jeszcze jakieś założenia przyjąć itp?-- 2 lut 2018, o 18:10 --to jak z tą bazą?

[bartek118]

0. Sprawdzasz, czy te macierze należą w ogóle do \(\displaystyle{ V}\).
1. Sprawdzasz, czy są one liniowo niezależne.
2. Sprawdzasz, czy są parami ortogonalne (licząc iloczyny skalarne).
3. Sprawdzasz, czy generują przestrzeń, tzn. czy każdą macierz hermitowską stopnia 2 da się zapisać przy pomocy kombinacji liniowej tych wektorów.

[sportowiec1993]

ok, dzięki!!

-- 3 lut 2018, o 11:37 --

właśnie mnie punkt 3) zastanawia.
Jak to pokazać? Czy wystarczy np w ten sposób:

\(\displaystyle{ p \cdot E_{1} + q \cdot E_{2} + r \cdot E_{3} + t \cdot E_{4} = \left[\begin{array}{ccc}a&b- k \cdot i\\b + k \cdot i &d\end{array}\right]}\), gdzie
\(\displaystyle{ p,q,r,t,a,b,d \in \RR}\)
i sprawdzić czy powyższe równanie ma zawsze rozwiązania??-- 3 lut 2018, o 21:36 --to jak ?