Które z podanych zbiorów są przestrzeniami wektorowymi?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
piotrrussw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 29 gru 2017, o 12:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skrzyszów
Podziękował: 12 razy

Które z podanych zbiorów są przestrzeniami wektorowymi?

Post autor: piotrrussw »

Mam dziwne zadanie, wskazać które z podanych zbiorów są przestrzeniami wektorowymi.

1. \(\displaystyle{ f: R\rightarrow R \left(2f\left(3\right)=f\left(1\right)\right)}\)

2. \(\displaystyle{ \left[\left(x,y,z\right)\in R^{3} : x+2y-z=0\right];}\)

3. \(\displaystyle{ \left[\left(x,y,z\right) \in R^{3} : xy=0\right];}\)

Odpowiedź mam uzasadnić. Pierwszego w ogóle nie rozumiem i proszę o wytłumaczenie. W drugim mogę to robić z definicji i wyjdzie, że jest przestrzenią, proszę mnie poprawić jeśli się mylę. W 3 też z definicji i wyjdzie, że nie jest?
Zymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Które z podanych zbiorów są przestrzeniami wektorowymi?

Post autor: Zymon »

w pierwszym zadaniu Twoimi domniemanym wektorami, są funkcje których wartość w punkcie \(\displaystyle{ 1}\) jest równa podwojonej wartości w punkcie \(\displaystyle{ 3}\). Ogólnie w takich zadaniach najlepiej zacząć od sprawdzenia zamkniętości ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie ich przez skalary z ciała, gdyż jest to warunek konieczny by coś w ogóle można było dalej rozpatrywać. Szczęśliwym trafem w tym przypadku jest to wszystko co musisz zrobić gdyż pozostałe dwa zbiory są podzbiorami większych struktur o których wiemy, że są przestrzeniami wektorowymi, więc jeśli będą zamknięte to z automatu będą przestrzeniami liniowymi. (Każda podprzestrzeń jest przestrzenią).

Słusznie zauważyłeś, że trzeci przykład przestrzenią liniową nie będzie. Nie jest zamknięty ze względu na dodawanie wektorów. Tak samo podpunkt drugi również dobrze oceniłeś, jest to podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) opisana układem równań. Teraz pomyśl nad pierwszym.
ODPOWIEDZ