Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:R^{2} \rightarrow R^{2}}\) jest dane w bazie \(\displaystyle{ e_{1}=(2, 5), e_{2}=(-1, -2)}\) poprzez macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&3\\1&2\end{array}\right]}\). Znaleźć macierz odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ e _{1}' = (2, 1), e_{2}'= (1, 3)}\).
Potrzebuję jakiegoś pomysłu jak to zrobić. Czy trzeba wyznaczyć macierz przejścia z jednej bazy do drugiej?
Znaleźć macierz odwzorowania w bazie
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Znaleźć macierz odwzorowania w bazie
Zgadza się. Myśl o przestrzeni liniowej jak o parze - zbiór i baza.
Wtedy masz dane odwzorowanie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&3\\1&2\end{array}\right] : (\RR^2, \{e_1,e_2\}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1,e_2\})}\)
a poszukujesz macierzy
\(\displaystyle{ A : (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\}).}\)
Macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ \{ e_1, e_2 \}}\) do \(\displaystyle{ \{e_1 ',e_2 '\}}\) to macierz identyczności
\(\displaystyle{ B : (\RR^2, \{e_1 ,e_2 \}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\})}\)
a odwrotna to
\(\displaystyle{ B^{-1} : (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1 ,e_2 \}).}\)
Wtedy \(\displaystyle{ A = B^{-1} \left[\begin{array}{cc}1&3\\1&2\end{array}\right] B}\).
Wtedy masz dane odwzorowanie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&3\\1&2\end{array}\right] : (\RR^2, \{e_1,e_2\}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1,e_2\})}\)
a poszukujesz macierzy
\(\displaystyle{ A : (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\}).}\)
Macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ \{ e_1, e_2 \}}\) do \(\displaystyle{ \{e_1 ',e_2 '\}}\) to macierz identyczności
\(\displaystyle{ B : (\RR^2, \{e_1 ,e_2 \}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\})}\)
a odwrotna to
\(\displaystyle{ B^{-1} : (\RR^2, \{e_1 ',e_2 '\}) \rightarrow (\RR^2, \{e_1 ,e_2 \}).}\)
Wtedy \(\displaystyle{ A = B^{-1} \left[\begin{array}{cc}1&3\\1&2\end{array}\right] B}\).
Re: Znaleźć macierz odwzorowania w bazie
bartek118,
Mam pytanie. Czy żeby wyznaczyć tę macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ (2, 5), (-1, -2)}\) do drugiej bazy \(\displaystyle{ (2, 1), (1, 3)}\), muszę zrobić coś takiego?
\(\displaystyle{ (2, 1) = \alpha _{1} (2, 5) + \beta _{1} (-1, -2)}\)
\(\displaystyle{ (1, 3) = \alpha _{2} (2, 5) + \beta _{2} (-1, -2)}\)
Następnie macierz przejścia będzie równa \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \alpha _{1} & \alpha _{2} \\ \beta _{1} & \beta _{2} \end{array}\right]}\)
Dobrze myślę?
Mam pytanie. Czy żeby wyznaczyć tę macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ (2, 5), (-1, -2)}\) do drugiej bazy \(\displaystyle{ (2, 1), (1, 3)}\), muszę zrobić coś takiego?
\(\displaystyle{ (2, 1) = \alpha _{1} (2, 5) + \beta _{1} (-1, -2)}\)
\(\displaystyle{ (1, 3) = \alpha _{2} (2, 5) + \beta _{2} (-1, -2)}\)
Następnie macierz przejścia będzie równa \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \alpha _{1} & \alpha _{2} \\ \beta _{1} & \beta _{2} \end{array}\right]}\)
Dobrze myślę?