Wzór przekształcenia liniowego

[marcin0248]

Znajdź wzór na \(\displaystyle{ T}\), jeśli \(\displaystyle{ T}\): \(\displaystyle{ R^2\rightarrow R^3}\) jest przekształceniem liniowym takim, że :
\(\displaystyle{ T(3,4)=(3,5,7), T(4,5)=(4,7,9)}\)
Na zajęciach robiliśmy tylko z \(\displaystyle{ T((1,1,0))}\) i \(\displaystyle{ T((0,1,1))}\).
Ktoś podpowie jak to zacząć?

[Zymon]

Zbuduj macierz rozszerzoną. Która będzie składała się z dwóch części (jak to macierz rozszerzona:D). Po lewej stronie "kreski" zapiszesz wierszami argumenty, a po prawej w odpowiednich wierszach wartości. W tym przypadku będzie to wyglądało tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&4&|&3&5&7\\4&5&|&4&7&9\\\end{bmatrix}}\)

Teraz tak, niezmiennikiem eliminacji Gaussa na wierszach jest to, że to co po prawej jest wartością na tym co po lewej (w poszczególnych wierszach). Teraz wystarczy gaussować aż po lewej stronie otrzymasz macierz jednostkową (pamiętając, że wszystkie operacje wykonujemy na całym wierszu oraz aby nie zamieniać kolumn). Wtedy to co po prawej wystarczy transponować i tak otrzymamy naszą macierz przekształcenia. Na sam koniec wystarczy wydobyć wzór, czyli pomnożyć z prawej strony przez wektor \(\displaystyle{ (x,y)}\).

[Dreeze]

Zymon, po co aż tak kombinować?
Masz odwzorowanie w bazach kanonicznych, wobec tego znajdź \(\displaystyle{ T(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ T(0,1)}\).
Wtedy odwzorowanie, będzie dane wzorem: (korzystając z liniowości tego odwzorowania)
\(\displaystyle{ T(x, y) = x T(1,0) + yT(0, 1)}\).

W tym przypadku wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ T(1,1)=T(4,5)-T(3,4)}\).
Później wykorzystać \(\displaystyle{ T(1,1)}\) w celu wyznaczenia wartości odwzorowania na wektorach z bazy.

[Zymon]

Zymon, po co aż tak kombinować?

Masz rację, da się to zadanie zrobić dużo prościej. Ja jednak chciałem podać Marcinowi sposób, który zadziała zawsze i może zostać użyty raz, że na ślepo, dwa nie tylko do tego typu zadań. W ten sam sposób można przecież wyznaczać przekształcenia na podstawie jądra i obrazu. Dużo osób liniówkę przerabia na studiach inżynierskich i parząc po kolegach - błogosławią oni algorytmy których można się po prostu wykuć.

[marcin0248]

Sorry, ale nadal nie rozumiem. Na ćwiczeniach zrobiliśmy tylko jeden przykład takiego zadania i to właśnie z zerami gdzie z \(\displaystyle{ R^3}\) ładnie wychodziło \(\displaystyle{ R^2}\). Gdybym miał gdzieś rozwiązany przykład takiego zadania bez zer to już by było łatwiej.

[Zymon]

Okej, to jedziemy.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&4&|&3&5&7\\4&5&|&4&7&9\\\end{bmatrix} ~~ \begin{bmatrix} 1&1&|&1&2&2\\3&4&|&3&5&7\\\end{bmatrix} ~~ \begin{bmatrix} 1&1&|&1&2&2\\0&1&|0&-1&1\\\end{bmatrix}~~\begin{bmatrix} 1&0&|&1&3&1\\0&1&|&0&-1&1\\\end{bmatrix}}\)

Tak więc macierz przekształcenia to transponowana prawa strona czyli:
\(\displaystyle{ M ^{st} _{st}(F)= \begin{bmatrix} 1&0\\3&-1\\1&1\\\end{bmatrix}}\) z dokłądnością co do mojego gaussa ;p

stąd po wykonaniu możenia \(\displaystyle{ M ^{st} _{st}(F) \cdot \begin{bmatrix} x\\y\\\end{bmatrix}}\) otrzymujemy wzór : \(\displaystyle{ F(x,y)=(x, 3x-y, x+y)}\)

[marcin0248]

Teraz to się wydaje banalne. Dzięki wielkie .